【Slam数学知识】线性代数矩阵 | 正定、超定、欠定矩阵

正定

1.定义

广义定义
设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有 z′Mz>0z′Mz>0，其中z’ 表示z的转置，就称M正定矩阵。[1]
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+BaE+B在a充分大时，aE+BaE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。

狭义定义
一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z′Mz>0z′Mz>0。其中z’表示z的转置。

2. 性质

正定矩阵

在合同变换下可化为标准型， 即单位矩阵。

合同矩阵：

两个实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵P，使得A=PTBPA=PTBP，就称矩阵A和B互为合同矩阵，并且称由A到B的变换叫合同变换。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）是正定矩阵。

• 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
• 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
• 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

1. 正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即 $|A|̸=0$。
2. 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
3. 若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得$\mathbf{A}=L\ast L^{\prime }A=L\ast L\prime$，此分解式称为 正定矩阵的**乔列斯基（Cholesky）**分解。
4. 若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

矩阵的每一行代表一个方程，m行代表m个线性联立方程。 n列代表n个变量。如果m是独立方程数，根据m

超定方程组

方程个数大于未知量个数的方程组。

对于方程组$\mathbf{R}a=$