27、特殊单节点排队模型解析

特殊单节点排队模型解析

1. 引言

排队模型在众多领域有着广泛应用，尤其是在电信领域。这里将介绍五种特殊的单节点排队模型：
- 多类数据包排队
- 后进先出（LCFS）Geo/Geo/1 系统
- 随机服务顺序（SIRO）Geo/Geo/1 系统
- 双端队列
- 有限源模型

2. 多类数据包排队

在大多数排队系统中，当存在多类数据包时，服务规则通常为先到先服务（FCFS）或基于优先级。不过在电信领域，有时会采用 FCFS 或 LCFS 规则的多类系统。这里主要探讨无优先级和 LCFS 这两种多类数据包情况。

假设排队系统有 $K < \infty$ 类数据包，无优先级。其到达过程由标记马尔可夫到达过程控制，用 $n_t \times n_t$ 的 $K + 1$ 个矩阵 $D_k$（$k = 0,1,\cdots,K$）描述。其中，元素 $(D_k) {i,j}$ 表示从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 且到达类型为 $k$（$k = 1,2,\cdots,K$）的概率，$(D_0) {i,j}$ 表示无到达。假设 $0 \leq (D_k) {i,j} \leq 1$，且 $D = \sum {k = 0}^{K} D_k$ 是不可约随机矩阵。设 $\pi$ 是矩阵 $D$ 的平稳向量，则第 $k$ 类的到达率为 $\lambda_k = \pi D_k 1$。每类数据包按阶数为 $n_s(k)$ 的 PH 分布（由 $(\beta_k, S_k)$ 表示）服务，第 $k$ 类的平均服务时间为 $\mu_k^{-1} = \beta_k (I - S_k)^{-1}