20、有限缓冲区排队模型与多服务器排队系统详解

有限缓冲区排队模型与多服务器排队系统详解

1. GI/G/1/K - 1 队列

1.1 队列长度

在 GI/G/1/K - 1 队列模型中，我们首先关注队列长度的相关计算。定义变量 (x_{k,0}) 为系统中没有顾客且剩余到达间隔时间为 (k) 的概率；(x_{k,i,j}) 为剩余到达间隔时间为 (k)，系统中有 (i) 个顾客且正在服务的顾客处于服务阶段 (j) 的概率。
若设 (q_i) 为系统中有 (i) 个顾客的概率，则有以下计算公式：
- (q_0 = \sum_{k = 1}^{n_t} x_{k,0} = \sum_{k = 1}^{n_t} x_k e_1)
- (q_i = \sum_{k = 1}^{n_t} \sum_{j = 1}^{n_s} x_{k,i,j} = \sum_{k = 1}^{n_t} x_k \hat{e} i)，其中 (i = 1,2,\cdots,K)，且 (\hat{e}_i = \sum {j = 2 + (i - 1)n_s}^{1 + i n_s} e_j)

1.2 等待时间

为了研究等待时间分布，我们需要获取任意顾客到达后系统的状态。设 (U) 为稳态下到达且未受阻的顾客看到的系统中的顾客数量。定义：
- (\psi_{k,0} = Pr{L = k, U = 0})
- (\psi_{k,i,j} = Pr{L = k, U = i, J = j})
进一步设 (\psi_0 = [\psi_{1,0}, \psi_{2,0}, \cdots, \psi_{n_t,0}])，(\psi_i = [\psi_{