45、回归分析中的数据处理与统计检验详解

回归分析中的数据处理与统计检验详解

1. 回归分析基础

回归分析是一种强大的统计工具，用于研究变量之间的关系。在回归分析中，我们常常需要处理各种类型的变量，包括连续变量和分类变量。比如，在预测大学生平均绩点（GPA）时，可能会用到高中GPA、SAT成绩和推荐信数量等变量。

在回归分析中，有一个很重要的概念是数据中心化。当我们对数据进行均值中心化处理时，虽然拟合效果（通过$R^2$衡量，这里$R^2 = 0.925$）不会改变，但两个模型的标准误差会有很大差异。当数据进行均值中心化后，标准误差会显著变小，不过交互项不会改变。这意味着，如果模型中只有主效应，那么中心化不会影响结果；但如果预测变量涉及交互作用，中心化就会对结果产生影响。

2. 变量标准化

除了数据中心化，变量标准化也是回归分析中常用的一种数据处理方法。标准化的过程是先从每个值中减去均值，然后除以标准差，最终得到均值为0、标准差为1的数据。

以年龄（Age）和工作经验（Experience）变量为例，原始年龄的均值为39.65岁，标准差为10.0277。对于年龄为25岁的个体，其标准化后的年龄为$(25 - 39.65) / 10.0277 = -1.4609$。同样，工作经验的均值为7.1年，标准差为3.5821，对于工作经验为2年的个体，其标准化后的工作经验为$(2 - 7.1) / 3.5821 = -1.42374$。

标准化和中心化的相似之处在于，它们都会改变截距的解释。但不同的是，中心化只改变值而不改变尺度，在没有交互项的情况下，截距会改变，但变量的回归系数不会改变。而标准化会同时改变截距和斜率，不过斜率的显著性不变，只是改变了表达斜率的单位，一个单位的差异