18、连续概率分布与描述性统计知识详解

连续概率分布与描述性统计知识详解

1. 连续均匀分布

1.1 理论计算

连续均匀分布在区间 $[a, b]$ 上的概率密度函数（PDF）、累积分布函数（CDF）、均值和方差的计算公式如下：
| 名称 | 公式 |
| — | — |
| 概率密度函数（PDF） | $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a}, & a\leq x\leq b \ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$ |
| 累积分布函数（CDF） | $F(x)=\begin{cases}0, & x < a \ \frac{x - a}{b - a}, & a\leq x\leq b \ 1, & x > b\end{cases}$ |
| 均值 | $\mu=\frac{a + b}{2}$ |
| 方差 | $\sigma^2=\frac{(b - a)^2}{12}$ |

1.2 示例

假设工程师测量信号在通信系统中传播的时间，该时间 $X$ 服从 $[0, 15]$ 秒的均匀分布。
- 信号传播时间恰好为 5 秒的概率：$P(X = 5)=\frac{1}{15 - 0}\approx0.0667$
- 信号传播时间为 20 秒的概率：$P(X = 20)=0$
- 信号传播时间小于 10 秒的概率：$P(X < 10)=\frac{10 - 0}{15 - 0}\approx0.6667$
- 信号传播时间大于 12 秒的概率：$P(X > 12)=1 -