13、离散概率分布详解

离散概率分布详解

1. 超几何分布的二项近似

当超几何分布中的总体大小 $M$ 变得非常大时，计算 $M!$ 会变得困难。而且，当 $M$ 趋近于无穷大时，有放回和无放回抽样的实验结果几乎没有差异。我们知道，二项分布是有放回抽样，而超几何分布是无放回抽样。所以，当超几何分布中的 $M$ 足够大，使得抽样是否放回对结果影响不大时，就可以用二项分布来近似超几何分布，公式如下：
$h(x;K,n,M) \approx b(x;n,p)$，其中 $p = \frac{K}{M}$

例如，当 $M = 600$，$n = 16$，$K = 100$ 时，$h(x;600,100,16) \approx b(x;16,\frac{1}{6})$

以下是使用 MATLAB 绘制概率质量函数（PMF）的代码：

x = 0:10;
y = hygepdf(x, 600, 100, 16);
bar(x, y, 1)
title('PMF for Hypergeometric M = 600, K = 100, N = 16')

x = 0:10;
y = binopdf(x, 16, 100/600);
bar(x, y, 1)
title('PMF for Binomial n = 16, p = 100/600')

1.1 示例

有一批 200 个标准泵组件被订购用于供水系统，其中 68 个有缺陷。若要接受这批货物，随机抽取的 30 个组件样本中，有缺陷的组件不能超过 5 个。求这批货物被接受的概率，并与二项分布的结果进行比较。