66、伪随机背包与LWE的样本复杂度

伪随机背包与LWE的样本复杂度

1. 伪随机背包的判定准则

定理给出了检查背包族是否为伪随机的明确准则。对于一个群 $G$ 和输入分布 $X$，只需检查折叠族 $K_d = K(G_d, X)$ 是否为伪随机。在很多情况下，折叠背包函数 $K_d$ 会压缩输入，并将 $X$ 映射到一个在 $G_d$ 上统计上接近均匀的分布，即 $\Delta_U(F(K(G_d, X))) = negl(n)$，此时 $K(G_d, X)$ 在强统计意义上是伪随机的。

1.1 特定群和输入分布

• 群的阶无小因子情况 ：当群 $G$ 的阶不包含小于输入最大可能值的因子时，即 $[X] \subseteq [s]^m$ 且 $|G|$ 的任何质因子至少和 $s$ 一样大，单向性就意味着对于任何输入分布的伪随机性。
  • 推论1 ：设 $p$ 是 $|G|$ 的最小质因子，且 $[X] \subseteq [p]^m$。如果 $K(G, X)$ 是单向的，那么它也是伪随机的。这个推论非常强大，例如在标准子集和问题中，对于任何质数 $p$ 都有 $[X] = {0, 1}^m \subseteq [p]^m$，它显著推广了相关结果，断言对于任何阿贝尔群 $G$，只要 $[X] \subseteq {0, 1}^m$ 且 $K(G, X)$ 是单向的，那么它就是伪随机的。此外，它还直接适用于素数阶群、向量群 $Z_p^k$（$p$ 为素数）以及一般的 $Z_{p^e}^k$ 群（$p$ 为素数且 $[X] \subseteq [p]^m$）。