德劳内三角剖分与重心坐标详解。

德劳内三角剖分（Delaunay Triangulation）

德劳内三角剖分是一种在计算几何中广泛使用的三角剖分方法，其核心特性是满足“空圆性质”：即任意三角形的外接圆内不包含其他输入点。这一特性使得生成的三角形尽可能接近等边，避免出现狭长的三角形，从而在数值计算、图形学和有限元分析中具有优势。

德劳内三角剖分的实现通常基于增量算法或分治算法。增量算法通过逐个插入点并局部优化三角网来满足德劳内条件，而分治算法通过递归地将点集划分为子集后合并结果。

以下是一个基于Python的scipy.spatial库实现德劳内三角剖分的代码示例：

import numpy as np
from scipy.spatial import Delaunay
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成随机点集
points = np.random.rand(30, 2)

# 计算德劳内三角剖分
tri = Delaunay(points)

# 可视化
plt.triplot(points[:, 0], points[:, 1], tri.simplices)
plt.plot(points[:, 0], points[:, 1], 'o')
plt.show()

重心坐标（Barycentric Coordinates）

重心坐标是一种用于描述点在三角形内部位置的坐标系。对于三角形ABC和点P，重心坐标$(u, v, w)$满足： $$ P = uA + vB + wC, \quad u + v + w = 1 $$ 若$u, v, w$均为正数，则P位于三角形内部；若任一坐标为0，则P位于边上；若为负数，则P位于三角形外部。

重心坐标在纹理映射、光线追踪和插值计算中非常有用。例如，在三角形内插值顶点属性时，可以直接用重心坐标作为权重。

以下是一个计算点P在三角形ABC中重心坐标的Python实现：