53、最大 3 边和 4 边可着色子图的近似算法

最大 3 边和 4 边可着色子图的近似算法

1. 引言

在图论领域，寻找最大 k 边可着色子图（max - k - ECS）问题是一个重要的研究方向。传统的 k - 匹配方法在解决该问题时，会受到一些例外图的阻碍，难以得到较好的近似比。为了解决这个问题，研究人员提出了一种通用框架，结合组合结果，得到了一些新的近似算法。

2. 符号说明

• $N(x)$ ：表示顶点 $x$ 的邻接点集合。
• 次立方图 ：最大度为 3 的图。
• $c_k(G)$ ：图 $G$ 的最大 k 边可着色子图的边数。
• $\overline{c}_k(G)$ ：$|E(G)| - c_k(G)$。
• $c(G)$ ：$c_{\Delta(G)}(G)$。
• $\overline{c}(G)$ ：$c_{\Delta(G)}(G)$。

3. 组合结果

3.1 相关引理和定理

• 引理 1 ：每个次立方、无三角形的多重图 $G$ 都有一个 4 边着色，其中三个最大颜色类的并集大小至少为 $\frac{13}{15}|E(G)|$。
• 定理 1 ：设 $G$ 是一个不同于 $G_3$、$G_5$ 和 $G_5^*$ 的双连通次立方多重图，则存在 $G$ 的一个 4 边着色，其中三个最大颜色类的并集大小至少为 $\frac{13}{15}|E(G)|$。
  • 证明思路 ：采用对图的顶点数进行归纳的方法。引入三角形收缩操作，若 $G$ 有三角形 $T$，收缩 $T$ 得到图 $G’$。分情况讨论 $G’$ 是否同构于 $G_3$、$G_5$ 或 $G_5^*$，进而证明定理。
• 推论 1 ：设 $G$ 是一个不包含 $G_3$ 作为子图且不同于 $G_5$ 和 $G_5^*$ 的次立方多重图，则存在 $G$ 的一个 4 边着色，其中三个最大颜色类的并集大小至少为 $\frac{13}{15}|E(G)|$。
• 推论 2 ：每个不同于 $G_5$ 的次立方简单图 $G$ 都有一个 4 边着色，其中三个最大颜色类的并集大小 $\geq\frac{13}{15}|E(G)|$。
• 推论 3 ：每个不同于 $G_3$ 的次立方多重图 $G$ 都有一个 4 边着色，其中三个最大颜色类的并集大小 $\geq\frac{7}{9}|E(G)|$。
• 定理 2 ：一个最大度为 4 且不同于 $K_5$ 的简单图 $G$ 有一个 4 可着色子图，其边数至少为 $\frac{5}{6}|E(G)|$。
  • 证明思路 ：从空的部分着色开始，逐步扩展到“更好”的部分着色。若未着色边诱导的子图有至少 3 条边的连通分量，可在多项式时间内找到更好的着色。重点关注未着色的单边和相邻边对，目标是找到高度结构化的部分着色。

3.2 新结果

通过结合通用框架和组合结果，得到以下新结果：
| 图的类型 | 问题 | 近似比 |
| ---- | ---- | ---- |
| 多重图 | max - 3 - ECS 问题 | $\frac{7}{9}$ |
| 简单图 | max - 3 - ECS 问题 | $\frac{13}{15}$ |
| 简单图 | max - 4 - ECS 问题 | $\frac{9}{11}$ |

4. 近似算法

4.1 元算法概述

该元算法受 Kosowski 方法启发，用于解决最大 k 边可着色子图问题。输入为图族 $\mathcal{G}$ 中的多重图 $G=(V, E)$，固定 $G$ 的一个最大 k 边可着色子图 $OPT$。算法首先在多项式时间内找到 $G$ 的一个最大 k - 匹配 $F$，若能对 $F$ 中的 $\rho|E(F)|$ 条边进行着色，就可得到 $\rho$ - 近似。但这种方法可能得到较低的近似比上界。

4.2 k - 正常族

考虑图族 $\mathcal{F} \subset \mathcal{G}$，对于每个图 $A \in \mathcal{F}$，满足以下性质：
- (F1) ：$\Delta(A) = k$ 且 $A$ 至多有一个度小于 $k$ 的顶点。
- (F2) ：$c_k(A) = c_k(K_{|V(A)|})$。
- (F3) ：对于 $E(A)$ 中的每条边 $uv$，可以在多项式时间内找到 $A$ 或 $A - uv$ 的最大 k 边可着色子图。
- (F4) ：对于给定的图 $B$，可以在多项式时间内检查 $A$ 是否同构于 $B$。
- (F5) ：$A$ 是 2 边连通的。
- (F6) ：对于 $A$ 中的每条边 $uv$，有 $c(A - uv) = c(A)$。

满足上述性质的图族称为 k - 正常族。

4.3 主要定理

设 $\mathcal{G}$ 是一个图族，$\mathcal{F}$ 是一个 k - 正常族。假设存在一个多项式时间算法，对于 $\mathcal{G}$ 中每个不属于 $\mathcal{F}$ 的 k - 匹配 $H$，能找到其 k 边可着色子图，且边数至少为 $\alpha|E(H)|$。定义：
- $\beta = \inf_{A,B \in \mathcal{F}, A \text{ 非 k - 正则}} \frac{c_k(A) + c_k(B) + 1}{|E(A)| + |E(B)| + 1}$
- $\gamma = \inf_{A \in \mathcal{F}} \frac{c_k(A) + 1}{|E(A)| + 1}$
- $\delta = \inf_{A,B \in \mathcal{F}} \frac{c_k(A) + c_k(B) + 2}{|E(A)| + |E(B)| + 1}$

则存在一个最大 k - ECS 问题的近似算法，其近似比为 $\min{\alpha, \beta, \gamma, \delta}$。

以下是算法流程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[找到最大 k - 匹配 F];
    B --> C[定义图族 F 和相关参数];
    C --> D[找到 k - 匹配 R];
    D --> E[初始化子图 S 为空];
    E --> F{是否有满足条件的叶组件};
    F -- 是 --> G[进行相应操作更新 F 和 R];
    G --> F;
    F -- 否 --> H{处理剩余组件};
    H -- Q 属于 Γ --> I[找到最大 k 边可着色子图 SQ 并添加到 S];
    H -- Q 不属于 Γ --> J[使用算法 A 着色并添加到 S];
    H --> K[处理删除的组件，添加边到 S];
    K --> L[结束];
    I --> L;
    J --> L;

4.4 算法步骤

• 步骤 1 ：开始时，将子图 $S$ 初始化为空图 $(V, \emptyset)$。
• 步骤 2 ：只要 $F$ 包含一个叶组件 $Q \in \Gamma$ 和一个组件 $P$，满足：
  • 存在边 $xy \in R$，其中 $x \in Q$ 且 $y \in P$。
  • 存在边 $yz \in E(P)$，使得 $P - e$ 的任何连通分量都不同构于 $\mathcal{F}$ 中的图。
    则从 $R$ 中移除 $xy$，从 $F$ 中移除 $Q$ 和 $yz$。若 $z$ 与边 $zw \in R$ 关联，则根据观察 2，$w$ 属于另一个叶组件 $Q’$，也从 $R$ 中移除 $zw$，从 $F$ 中移除 $Q’$。
• 步骤 3 ：只要存在叶组件 $Q \in \Gamma(R)$，进行以下操作：
  • 设 $P$ 是 $F$ 的组件，使得存在边 $xy \in R$，其中 $x \in Q$ 且 $y \in P$。
  • 对于 $E(P)$ 中的每条边 $yz$，$P - yz$ 有一个连通分量同构于 $\mathcal{F}$ 中的图。
  • 移除 $Q$、$yz$ 和 $P_{yz}$ 从 $F$，从 $R$ 中移除 $xy$。
• 步骤 4 ：根据组件 $Q$ 的类型处理剩余组件：
  • (a) ：若 $Q \in \Gamma$，找到 $Q$ 的最大 k 边可着色子图 $S_Q$，并将其添加到 $S$ 中。
  • (b) ：若 $Q \notin \Gamma$，使用算法 $A$ 对 $Q$ 中至少 $\alpha|E(Q)|$ 条边进行着色，并将着色边添加到 $S$ 中。
  • (c) ：对于步骤 3 中删除的每个 $Q$、$yz$ 和 $P_{yz}$，找到 $Q$ 和 $P_{yz}$ 的最大边可着色子图 $Q^ $ 和 $P^ $，将 $Q^ $、$P^ $ 和 $yz$ 添加到 $S$ 中。
  • (d) ：对于步骤 2 中删除的每个 $xy$ 和 $Q$，找到 $Q - zw$ 的最大 k 边可着色子图 $Q^ $，将 $Q^ $ 和 $xy$ 添加到 $S$ 中。

通过上述算法，可以得到最大 k - ECS 问题的近似解，其近似比为 $\min{\alpha, \beta, \gamma, \delta}$。

最大 3 边和 4 边可着色子图的近似算法

5. 算法分析

5.1 关键观察和引理

• 观察 1 ：不失一般性，不存在边 $xy \in E(G)$，使得对于某个 $Q \in \Gamma$，$x \in V(Q)$，$y \notin V(Q)$ 且 $\deg(y) < k$。若存在这样的边，可在 $F$ 中用 $xy$ 替换 $Q$ 中与 $x$ 关联的边，新的 $F$ 仍是最大 k - 匹配，且 $F$ 的连通分量数增加，该过程最终会停止，得到满足条件的 k - 匹配。
• 引理 2 ：$|E(OPT)| \leq |E(F)| - \sum_{Q \in \Gamma(OPT)} c_k(Q)$。证明过程如下：
  • 因为对于每个 $Q \in \Gamma$，$OPT$ 中没有恰有一个端点在 $Q$ 中的边，所以 $|E(OPT)| = |E(OPT[V’])| + \sum_{Q \in \Gamma(OPT)} |E(OPT[V(Q)])|$，其中 $V’ = V \setminus \bigcup_{Q \in \Gamma(OPT)} V(Q)$。
  • 由于对于每个 $Q \in \Gamma$，有 $c_k(Q) \leq |E(OPT[V(Q)])| \leq c_k(K_{|V(Q)|})$，且由 (F2) 可知 $c_k(Q) = c_k(K_{|V(Q)|})$，所以 $|E(OPT[V(Q)])| = c_k(Q)$。
  • 又因为 $OPT$ 是 k 边可着色的，$E(OPT[V’])$ 是一个 k - 匹配，且 $F$ 是最大的，所以 $|E(OPT[V’])| \leq |E(F[V’])|$。结合上述式子可得 $|E(OPT)| \leq |E(F[V’])| + \sum_{Q \in \Gamma(OPT)} c_k(Q) = |E(F)| - \sum_{Q \in \Gamma(OPT)} c_k(Q)$。
• 引理 3 ：k - 匹配 $R$ 可以在多项式时间内找到。具体做法是：
  • 定义图 $G’ = (V’, E’)$，其中 $V’ = V \cup {u_Q, w_Q : Q \in \Gamma}$。对于每个 $Q \in \Gamma$，$E’$ 包含三种类型的边：
  • 所有 $xy \in E(G)$ 且 $x \in V(Q)$，$y \notin V(Q)$ 的边。
  • 对于每个 $v \in V(Q)$，有边 $vu_Q$。
  • 边 $u_Qw_Q$。
  • 定义函数 $f, g : V’ \to \mathbb{N}$：
  • 对于每个 $v \in \bigcup_{Q \in \Gamma} V(Q)$，设 $f(v) = 1$，$g(v) = k$。
  • 对于每个 $v \in V \setminus \bigcup_{Q \in \Gamma} V(Q)$，设 $f(v) = 0$，$g(v) = k$。
  • 对于每个 $Q \in \Gamma$，设 $f(u_Q) = 0$，$g(u_Q) = |V(Q)|$，$f(w_Q) = 0$，$g(w_Q) = 1$。
  • 所有边 $u_Qw_Q$ 的权重为 $c(Q)$，其他边的权重为 0。然后在 $G’$ 中找到最大权重 $[f, g]$ - 因子 $R’$，这可以在多项式时间内完成。最后，$R = E(R’) \cap E(G)$ 满足 (M1) 和 (M2)，再通过不断移除满足条件的边，使其满足 (M3)。
• 引理 4 ：$\sum_{Q \in \Gamma(R)} c_k(Q) \leq \sum_{Q \in \Gamma(OPT)} c_k(Q)$。证明如下：设 $R_{OPT} = {xy \in E(OPT) : \text{对于某个 } Q \in \Gamma, x \in Q, y \notin Q}$，因为 $OPT$ 是 k 边可着色的，所以 $R_{OPT}$ 是一个 k - 匹配。由 (M2) 可知 $\sum_{Q \in \Gamma(R)} c_k(Q) \geq \sum_{Q \in \Gamma(R_{OPT})} c_k(Q) = \sum_{Q \in \Gamma(OPT)} c_k(Q)$，进而可得 $\sum_{Q \in \Gamma(R)} c_k(Q) = \sum_{Q \in \Gamma} c_k(Q) - \sum_{Q \in \Gamma(R)} c_k(Q) \leq \sum_{Q \in \Gamma} c_k(Q) - \sum_{Q \in \Gamma(OPT)} c_k(Q) = \sum_{Q \in \Gamma(OPT)} c_k(Q)$。
• 观察 2 ：设 $H_F$ 是一个图，其顶点集为 ${Q : Q \text{ 是 } F \text{ 的连通分量}}$，边集为 ${PQ : \text{存在边 } xy \in R \text{ 与 } P \text{ 和 } Q \text{ 都关联}}$，则 $H_F$ 是一个森林，且 $H_F$ 的每个连通分量都是一个星。

5.2 算法不变量

在算法执行过程中，维护以下两个不变量：
- 不变量 1 ：对于每个 $v \in V$，$\deg_R(v) \leq \deg_F(v)$。由观察 2 可知，$R$ 的每条边连接一个叶组件的顶点 $x$ 和另一个组件的顶点 $y$，所以 $\deg_R(x) = 1 \leq \deg_F(x)$。由观察 1 可知，初始时 $\deg_F(y) = k$，所以 $\deg_R(y) \leq \deg_F(y)$，因此该不变量在开始时成立。
- 不变量 2 ：若 $F$ 包含一个同构于 $\mathcal{F}$ 中某个图的连通分量 $Q$，则 $Q \in \Gamma$，即不会出现新的同构于 $\mathcal{F}$ 中某个图的组件。

6. 近似比证明

设 $\rho = \min{\alpha, \beta, \gamma, \delta}$。
- 算法得到的子图 $S$ 的边数 $|S|$ 满足：
- $|S| \geq \rho(|E(F)| - \sum_{Q \in \Gamma(R)} |E(Q)|) + \sum_{Q \in \Gamma(R)} c_k(Q)$
- 因为 $\sum_{Q \in \Gamma(R)} c_k(Q) \leq \sum_{Q \in \Gamma(OPT)} c_k(Q)$，所以 $|S| \geq \rho(|E(F)| - \sum_{Q \in \Gamma(R)} |E(Q)| + \sum_{Q \in \Gamma(R)} c_k(Q)) = \rho(|E(F) - \sum_{Q \in \Gamma(R)} c_k(Q))$
- 再由引理 2 可知 $|E(OPT)| \leq |E(F)| - \sum_{Q \in \Gamma(OPT)} c_k(Q)$，所以 $|S| \geq \rho|E(OPT)|$。

这表明算法的近似比为 $\min{\alpha, \beta, \gamma, \delta}$。

7. 总结

本文针对最大 k 边可着色子图问题，提出了一种近似算法。该算法通过引入 k - 正常族的概念，结合最大 k - 匹配和特定的 k - 匹配 $R$，在多项式时间内得到了较好的近似比。具体成果如下：
| 成果类型 | 具体内容 |
| ---- | ---- |
| 组合结果 | 得到了不同类型图（次立方多重图、次立方简单图、最大度为 4 的简单图）的边着色相关结果，如定理 1、定理 2 及相关推论。 |
| 近似算法 | 提出了最大 k - ECS 问题的元算法，其近似比为 $\min{\alpha, \beta, \gamma, \delta}$，并给出了详细的算法步骤和分析。 |

该算法为解决最大 k 边可着色子图问题提供了一种有效的方法，在实际应用中具有一定的价值。

以下是算法关键步骤的总结列表：
1. 找到最大 k - 匹配 $F$。
2. 定义 k - 正常族 $\mathcal{F}$ 和相关参数 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$。
3. 找到满足条件的 k - 匹配 $R$。
4. 初始化子图 $S$ 为空。
5. 根据条件更新 $F$ 和 $R$。
6. 处理剩余组件，将边添加到 $S$ 中。

通过这些步骤，可以得到最大 k - ECS 问题的近似解。