45、共色数与不相交矩形穿刺的固定参数算法

共色数与不相交矩形穿刺的固定参数算法

1. 定义与符号说明

在图论问题中，我们所讨论的图均为简单、无向且无权的图。对于图 $G = (V, E)$，顶点集 $V$ 的大小记为 $n$，边集 $E$ 的大小记为 $m$。对于 $V$ 的子集 $S$，由 $S$ 诱导的 $G$ 的子图记为 $G[S]$。图 $G$ 的补图记为 $\overline{G}$，它与 $G$ 具有相同的顶点集 $V$，边集为 ${uv | u, v \in V, u \neq v, uv \notin E}$。

图的（恰当）着色是为其顶点分配颜色，使得相邻顶点具有不同颜色。使用最少颜色的着色称为最小着色。图 $G$ 的色数是其最小着色所需的颜色数，团数是图中最大团的大小。图中的团覆盖是一组团，使得每个顶点都在其中一个团内。若图的每个诱导子图的色数都等于团数，则该图为完美图。图 $G$ 的共色数是将顶点集 $V$ 划分成最少数量的集合，使得每个集合要么是独立集，要么是团。

参数化问题 $L$ 输入包含输入 $x$ 和整数参数 $k$。若存在算法能在 $f(k)n^{O(1)}$ 时间内判定输入 $(x, k)$ 是否属于 $L$（其中 $f$ 是关于 $k$ 的函数），则称该问题是固定参数可处理的（FPT）。

2. 方法概述

我们的方法结合了两种获取固定参数可处理算法的知名方法：贪心定位和迭代压缩。

• 贪心定位 ：主要用于最大化问题。其思路是先贪心计算当前问题的一个解，然后证明最优解在某种意义上与当前解“接近”。例如，在给定图 $G$ 中寻找 $k$ 个顶点不相交的 $P_3$（三个顶点的路径）