5、最小循环基算法实现与整数规划近似方法

最小循环基算法实现与整数规划近似方法

最小循环基算法分析

1. 更新集合 S 的时间分析

   • 实验表明，算法 1 的运行时间主导因素（至少对于随机图）不是更新集合 S 的时间，而是计算循环的时间。更新集合 S 的时间复杂度为 (O(m^3))，计算循环的时间复杂度为 (O(m^2n + mn^2 \log n))。在稀疏图上，该算法的运行时间为 (O(n^3 \log n))，与已知最快算法相同。
   • 目前解决最小循环基（MCB）问题最快的算法运行时间为 (O(m^2n + mn^2 \log n + m^{\omega}))，其中 (m^{\omega}) 因子被 (m^2n) 主导。该算法通过快速矩阵乘法技术改进了更新集合 S 的时间。
   • 实际实验显示，更新集合 S 所需时间只是计算循环所需时间的一小部分。例如，在随机加权图中，通过算法 1 对比更新集合 (S_i) 和计算循环 (C_i) 所需的时间，可直观看到这一差异。
   • 进一步实验发现，集合 S 的平均基数远小于 N，且实际进行集合更新的次数（当 (\langle C_i, S_j \rangle = 1) 时）远小于 (N(N - 1)/2)。启发式 H1 通过并行执行 32 或 64 次操作，显著降低了更新集合 S 的运行时间常数因子，但不影响最短路径计算。
     |n|m|N|N(N - 1)/2|max(|S|)|avg(|S|)|# ⟨S, C⟩ = 1|
     |----|----|----|----|----|----|----|
     |sparse (m ≈ 2n)