44、图论中的快速参数化算法及相关问题研究

图论中的快速参数化算法及相关问题研究

在图论和计算几何领域，有许多重要的问题需要高效的算法来解决。本文将介绍两种不同但相关的问题：图的子式包含问题和共色数与不相交矩形穿刺问题，并详细阐述解决这些问题的算法。

图的子式包含问题

在图论中，判断一个图是否包含另一个图作为子式是一个重要的问题。为了解决这个问题，我们引入了一些引理和算法。

引理1

设 $G$ 和 $H$ 为图，$e$ 是 $G$ 的有根分支分解中的一条边。
1. 如果 $mode(A, S, R, \psi, \chi) = true$，则 $G_e$ 包含 $H[S]$ 的一个 $(R, { {u, v} | u, v \in R, \chi(u, v) = 1})$-潜在模型。
2. 如果 $G_e$ 包含 $H[S]$ 的一个 $R$-潜在模型，则存在 $A$、$\psi$ 和 $\chi$ 使得 $mode(A, S, R, \psi, \chi) = true$。
3. $G$ 包含与 $H$ 同构的子式，当且仅当某个中间集 $mid(e)$ 满足 $mode(\varnothing, V(H), \varnothing, \varnothing, \varnothing) = true$。

算法

我们使用动态规划方法，通过对 $G$ 的分支分解进行计算，来明确计算 $mode(A, S, R, \psi, \chi)$ 的值。
- 内部边情况 ：设 $e$、$e_1$、$e_2$ 是 $T$ 中与同一顶点关联的三条边，且 $e$ 比另外两条边更靠近