13、图反馈顶点集问题的新进展

图反馈顶点集问题的新进展

1. 引言

在图论领域，反馈顶点集（FVS）问题一直是研究的热点。FVS 指的是在一个无向图中，移除某些顶点后能使图变为无环图的顶点集合。寻找图的最小反馈顶点集是经典的 NP 完全问题，其历史可追溯到 20 世纪 60 年代早期。多年来，人们尝试了多种算法来解决该问题，包括近似算法、线性规划、局部搜索、多面体组合学和概率算法等。此外，也有精确算法能在特定时间复杂度内找到图的最小 FVS。

FVS 问题在操作系统的死锁恢复中有重要应用。在系统资源分配图中，死锁表现为图中的环，因此需要移除一些顶点（即找到 FVS）来打破环，解决死锁问题。在实际的系统资源分配图中，最小 FVS 的大小 k 通常较小，这促使人们研究该问题的参数化版本，即 fvs 问题：给定图 G 和参数 k，要么在 G 中构造一个大小不超过 k 的 FVS，要么报告不存在这样的 FVS。

以下是参数化算法解决无权重 FVS 问题的历史进展：
| 作者 | 复杂度 | 年份 |
| — | — | — |
| Bodlaender、Downey 和 Fellows | O(17(k4)!nO(1)) | 1994 |
| Downey 和 Fellows | O((2k + 1)kn2) | 1999 |
| Raman 等 | O(max{12k, (4 log k)k}n2.376) | 2002 |
| Kanj 等 | O((2 log k + 2 log log k + 18)kn2) | 2004 |
| Raman 等 | O((12 log k/ log log k + 6)kn2.376) | 2006 |