11、切比雪夫张量：高效函数逼近的利器

切比雪夫张量：高效函数逼近的利器

1. 误差估计与切比雪夫点的独特性

在函数逼近领域，误差估计是一个关键问题。对于多维对象的误差估计，可以将其分解为一维对象的误差估计，取其中的最大值作为多维对象的误差估计。这是因为我们关注的是上确界范数下的误差。

以二维的Black - Scholes函数为例，随着切比雪夫点数量的增加，经验误差和预测误差呈指数衰减。这一特性在实际应用中非常重要，因为它意味着我们可以通过增加切比雪夫点的数量来有效地降低逼近误差。

多项式插值的有效性在很大程度上依赖于网格点的几何分布。Runge函数就是一个典型的例子，等距插值对于该解析函数会导致指数发散，而切比雪夫插值则能实现指数收敛。

下面通过一个表格来对比等距插值和切比雪夫插值在Runge函数上的表现：
| 插值方法 | 收敛情况 |
| ---- | ---- |
| 等距插值 | 指数发散 |
| 切比雪夫插值 | 指数收敛 |

我们可以通过Hermite积分公式和点电荷的势场来理解网格点几何分布的作用。Hermite积分公式表明，多项式插值的误差由一个轮廓积分给出，其中被积函数直接受网格点几何分布的影响。

Hermite积分公式：设$f$是区间$[-1, 1]$上的解析函数，$p \in \mathcal{P} n$是$f$在点${x_0, \ldots, x_n}$处的多项式插值。$\Gamma$是复平面上正向包围这些点的路径。如果$x$是被$\Gamma$包围的点，则插值误差为：
[f(x) - p(x) = \frac{1}{2\pi i} \int {\Gamma}