9、函数逼近方法深度解析

函数逼近方法深度解析

1. 深度神经网络逼近方法

近年来，生成对抗网络（GAN）这种深度神经网络（DNN）受到了广泛关注。它由两个神经网络（通常是卷积神经网络）在一组定义好的规则下相互竞争构成。其目标是生成与原始训练集具有相同特征的新数据，这使其在图像和语音生成领域表现出色。

对于某些类型的问题，全连接DNN及其轻微变体就足够了。到目前为止，在许多应用中使用深度学习的文献，很少使用非全连接的神经网络。不过，我们相信其他架构进入广泛应用只是时间问题，不仅限于特定领域，在金融领域更是如此。

DNN具有以下优势：
- 逼近能力 ：对于给定的连续函数$f$和指定的精度，存在一种DNN配置可以将$f$逼近到指定的精度。
- 高效稳定的评估 ：DNN的评估主要归结为简单的矩阵乘法和快速计算的激活函数评估。在实际应用中，只要DNN的架构不是太大，就能在极短时间内完成数千次评估。
- 架构灵活性 ：神经网络天生具有高度的灵活性，这使得DNN具有很强的适应性，尤其能处理高维输入数据。但缺点是，如果DNN的架构过于复杂，某些应用可能需要大量的训练数据。

2. 多项式逼近函数

多项式函数是数学各领域中常用的一类函数，其中一个重要用途是逼近任意连续函数。早在1885年，魏尔斯特拉斯就证明了对于任何给定的连续函数，都存在一个多项式可以将其逼近到所需的精度。

魏尔斯特拉斯逼近定理 ：设$f$是$[-1, 1]$上的连续函数，$\epsilon$是任意大于零的实数，则