【矩阵】[HNOI2011][HYSBZ/BZOJ2326][CQBZOJ2831]数学作业

最新推荐文章于 2019-02-19 18:46:02 发布

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分类专栏：矩阵文章标签： c++ 矩阵 HYSBZ BZOJ HNOI

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂的方法来高效计算从1到N的所有整数连接起来形成的数字串对M取模的问题。通过定义转移矩阵并利用快速幂算法，可以有效地解决该问题，尤其是在N较大时。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目
分析：另f[n]为Concatenate(1..N) Mod M的值，那么f[n]=(f[n-1]*10^length[n]+n)%MOD。
所以

[f [n] n 1] = [f [n - 1] n 1] * ⎡ ⎣ ⎢ 111011001 ⎤ ⎦ ⎥

$\begin{bmatrix}f[n]&n&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f[n-1]&n&1\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{bmatrix}$
根据数字的长度分段做矩阵快速幂即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXMT 3
#define MOD m
typedef int matrix[MAXMT+1][MAXMT+1];
matrix a,b;
long long n;
int m,ans;
template<class T>
void Read(T &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
void mul(matrix a,matrix b,matrix c){
    matrix d;
    memset(d,0,sizeof d);
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=MAXMT;i++)
        for(j=1;j<=MAXMT;j++)
            for(k=1;k<=MAXMT;k++)
                d[i][j]=(d[i][j]+1ll*a[i][k]*b[k][j])%MOD;
    memcpy(c,d,sizeof d);
}
void quick_pow(matrix a,long long b,matrix c){
    matrix d,t;
    memcpy(t,a,sizeof t);
    memset(d,0,sizeof d);
    for(int i=1;i<=MAXMT;i++)
        d[i][i]=1;
    while(b){
        if(b&1)
            mul(d,t,d);
        mul(t,t,t);
        b>>=1;
    }
    memcpy(c,d,sizeof d);
}
void solve(){
    a[1][1]=a[2][1]=a[2][2]=a[3][1]=a[3][2]=a[3][3]=1;
    long long t=1;
    while(n>=t){
        a[1][1]=1ll*a[1][1]*10%MOD;
        quick_pow(a,min(n,t*10-1)-t+1,b);
        ans=(1ll*ans*b[1][1]%MOD+(t-1)%MOD*b[2][1]%MOD+b[3][1])%MOD;
        t*=10;
    }
}
int main()
{
    Read(n),Read(m);
    solve();
    printf("%d\n",ans);
}