BZOJ2326数学作业题解（矩阵乘法）

题目：BZOJ2326.
题目大意：给定一个数$n$，求由$1$~$n$按顺序写出来合并得到的数模$M$的值.例如$n$为$13$，那么写出来的数为$12345678910111213$.
$1\le n\le 10^{18},1\le m\le 10^9$.

乍一看感觉还挺难的，但是思考一下会发现其实只要边加数边模就可以了，只是数的位数不同会比较难处理，分段一下就好，不过直接暴力加数会TLE.

然后仔细思考一下，设$f[i]$表示加到数$i$的时候的值且$10^k\le i<10^{k+1}$，那么显然$f[i]=f[i-1]\ast 10^{k+1}+i$.把这个转移用矩阵写出来：
$$\left[\begin{array}{ccc}?& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f[i]\\ i\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f[i]\ast 10^k+i+1\\ i+1\\ 1\end{array}\right]$$

很容易把左边的这个矩阵填出来：
$$\left[\begin{array}{ccc}10^k& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

然后分段写矩阵乘法就可以了，不过注意要写快（gui）速乘，时间复杂度$O(\log n)$，代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=3;

LL n,mod;

LL mul(LL a,LL b){
  LL s=0;
  for (;b;b>>=1,a=a+a%mod)
    if (b&1) s=s+a%mod;
  return s;
}

struct matrix{
  int n,m;
  LL v[N+9][N+9];
  
  matrix operator * (const matrix &p)const{
    matrix tmp=matrix();
    tmp.n=n;tmp.m=p.m;
    for (int i=1;i<=tmp.n;++i)
      for (int k=1;k<=m;++k)
        for (int j=1;j<=tmp.m;++j)
          tmp.v[i][j]=(tmp.v[i][j]+mul(v[i][k],p.v[k][j]))%mod;
    return tmp;
  }
  
}ans,f;

matrix e(int k){
  matrix e=matrix();
  e.n=e.m=k;
  for (int i=1;i<=e.n;++i)
    for (int j=1;j<=e.m;++j)
      e.v[i][j]=i==j?1:0;
  return e;
}

matrix go(LL k){
  matrix f=matrix();
  f.n=f.m=3;
  f.v[1][1]=k;
  f.v[1][2]=f.v[1][3]=f.v[2][2]=f.v[2][3]=f.v[3][3]=1;
  return f;
}

matrix power(matrix a,LL k){
  matrix s=e(a.n);
  for (;k;k>>=1,a=a*a)
    if (k&1) s=s*a;
  return s;
}

Abigail into(){
  scanf("%lld%lld",&n,&mod);
}

Abigail work(){
  ans.n=3;ans.m=1;
  ans.v[1][1]=0;ans.v[2][1]=0;ans.v[3][1]=1;
  LL g;
  for (g=1;g*10<=n;g*=10)
    ans=power(go(g*10),g*9)*ans;
  ans=power(go(g*10),n-g+1)*ans;
}

Abigail outo(){
  printf("%lld\n",ans.v[1][1]);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0; 
}