斐波那契数列的O(logN)求法

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介绍求斐波那契数列时间复杂度为$O(\log N)$的做法之前，我们先看一下快速幂。

快速幂

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快速幂是数论中非常基础的算法。

当我们要求$a^{b}modp,(1\le a,b,p\le 10^9)$时，如果是朴素做法，时间复杂度为$O(N)$显然会超时，而快速幂能够做到的是将时间复杂度降到$O(\log b)$。

做法

首先预处理出：$a^{2^0},a^{2^1},a^{2^2},a^{2^3},...,,a^{2^{\log b}}$

将每一项相乘，可以得到：$a^{2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{\log b}}$

我们知道：$2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{\log b}$可以转换成二进制表示：$1111...111$一共有$\log b+1$个

利用$2^i,0\le i\le \log b$每一项选与不选可以凑出，$0$ ~ $2^{\log b+1}-$