斐波那契数列的O(logN)求法

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本文介绍了如何使用快速幂算法实现斐波那契数列求解的时间复杂度从O(N)降低到O(logN)。首先讲解了快速幂的基本思想和C++实现，接着详细阐述了利用矩阵快速幂解决斐波那契数列问题的方法，并提供了相应的C++代码。此外，还探讨了扩展应用，如何在O(logN)内求斐波那契数列的前n项和。

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介绍求斐波那契数列时间复杂度为 O ( log ⁡ N ) O(\log N) O(logN)的做法之前，我们先看一下快速幂。

快速幂

题目链接

快速幂是数论中非常基础的算法。

当我们要求 a b m o d p , ( 1 ≤ a , b , p ≤ 1 0 9 ) a^b mod p, (1 \le a, b, p \le 10^9) abmodp,(1≤a,b,p≤109)时，如果是朴素做法，时间复杂度为 O ( N ) O(N) O(N)显然会超时，而快速幂能够做到的是将时间复杂度降到 O ( log ⁡ b ) O(\log b) O(logb)。

做法

首先预处理出： a 2 0 , a 2 1 , a 2 2 , a 2 3 , . . . , , a 2 log ⁡ b a^{2^0}, a^{2^1}, a^{2^2}, a^{2^3}, ..., , a^{2^{\log b}} a20,a21,a22,a23,...,,a2logb

将每一项相乘，可以得到： a 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 log ⁡ b a^{2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{\log b}} a20+21+22+23+...+2logb

我们知道： 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 log ⁡ b 2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{\log b} 20+21+22+23+...+2logb可以转换成二进制表示： 1111...111 1111...111 1111...111一共有 log ⁡ b + 1 \log b + 1 logb+1个

利用 2 i , 0 ≤ i ≤ log ⁡ b 2^i, 0 \le i \le \log b 2i,0≤i≤logb每一项选与不选可以凑出， 0 0 0 ~ 2 log ⁡ b + 1 − 1 2^{\log b + 1} - 1 2logb+1−

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用斐波那契数列感受算法的神奇（21亿耗时0.02毫秒）
曾经“等你生日那天”都遥远得像未来，如今却可欢愉的挥手说“下个十年见”
04-25 8万+
用斐波那契数列感受算法的神奇（21亿耗时0.2毫秒）：在实际应用中，结合快速幂的矩阵解法确实是计算斐波那契数列的最优解之一，尤其是对于大数值的情况。然而，并不是所有情况下都适合使用这种方法。
星星之火OIer：斐波那契数列（二）——O(logn)算法（矩阵加速）
qq_43890190的博客
04-06 702
在上一讲中，我们已经了解了关于斐波那契数列的算法 但是我们在上一讲留了一个问题 当n几近于_时 又该怎么处理呢 那就要引入我们今天讲的：： 矩阵加速 这个神奇的玩意可以将时间复杂度降至 是不是很神奇！？ 下面开始我们的正题 首先，让我们来了解了解矩阵：： 这个A就是一个的矩阵 说直白点 的矩阵就指的是一个长方形的东西里面有行列的，有这么多个数 然后呢，矩阵有一些基本的...
斐波那契数列O(logn)的求解方法
TingHao_church的博客
02-23 848
前言 是的，没错，斐波那契数列除了递推、递归算法之外，还有更加高效的求解方法，那就是矩阵运算+快速幂。 思路： 可以先利用矩阵运算的性质将通项公式变成幂次形式，然后用平方倍增（快速幂）的方法求解第 n 项。 首先我们定义向量 Xn=[an an−1],边界：X1=[a1 a0] 然后我们可以找出矩阵： A=[1110] A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1& 0 \end{matrix} \right] A=[11​10​] 则.
斐波那契数列 logn
我喜欢雨天的清新的博客
10-31 1374
分析  我们都知道常规解法这个数列存在这个等式 , F(n) = F(n-1) + F(n-2) , 我们通过递归的时间复杂度是 2的n 次方，通过迭代时间复杂度是 O(n)。   可是这个菲薄那切数列里面还有一个数学规律，应用这个规律我们可以把时间复杂度降到 logn 。做法  F(n) = F(n-1) + F(n-2) 可以看出这个是一个递推数列，通过这个递推数列，我们必定可以用矩阵把这个递
Fibonacci 数列O(logn)解法
想飞的小菜鸡
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传统解法 提到斐波那契数列（Fibonacci Sequence），首先想到的是经典的动规（DP）算法。 时间复杂度O(n)，这里空间复杂度可以优化到O(1)。代码如下： int fib_n(int n) { int dp[3] = {1, 1}; if (n 1) return dp[n]; for (int i = 2; i i)
斐波那契数列的最优算法（O（logN））
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04-30 1720
相信大家都对斐波那契数列已经相当的熟悉了，最多两分钟就可以写出来以下时间复杂度为O(N)的代码：//递归实现 longlongfib(intn) { if(n=1||n==2) { return1; } return(fib(n-2)+fib(n-1)); }或者是这样的时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)：//优化一：时...
斐波那契数列求解O(logn)
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04-25 760
预备 矩阵幂运算 比如计算矩阵a的4次方，是通过b=a∗a，c=b∗bb = a * a，c = b * bb=a∗a，c=b∗b 得到的答案c,计算了n/2次。 https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/ f[n]=f[n−1]+f[n−2]=f[n−2]+f[n−3]+f[n−3]+f[n−4]=f[n−3]+f[n−4]+f[n−4]...
斐波那契数列时间复杂度Logn的算法
Juvenile_chi的博客
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矩阵分解 class Solution { static final int MOD = 1000000007; public int fib(int n) { if (n < 2) { return n; } int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}}; int[][] res = pow(q, n - 1); return res[0][0]; }
O(logN) 计算经典斐波那契数列的某个数
Mikan的博客
12-10 874
// O(logN) 时间复杂度 // 计算经典斐波那契数列的某个数 // 1 2 3 5 8 13 21 34 // 如果只算一个数，二分很快 O(logn) // 但如果全部输出，一个循环即可完成 O(n) // 而不是二分计算每一个 // 借助斐波那契矩阵 // 1 2
精益求精——斐波那契数列的logn解法
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利用数学归纳法证明斐波那契数列的恒等式，并且使用时间复杂度为对数阶的算法求解斐波那契数列
数据结构与算法：斐波那契数列的O(logn)解法
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04-10 800
文章目录斐波那契数列的O(logn)解法利用动态规划来做利用矩阵乘法 斐波那契数列的O(logn)解法 我们都知道斐波那契数列有多种解法，比如糟糕的递归法：O(2^n)；利用动态规划的O（n），今天来介绍一种利用矩阵乘法的O(log n)方法 利用动态规划来做 利用矩阵乘法 ...
斐波那契数列，时间复杂度为o（log（N））的c++实现
01-03
斐波那契数列，用数学公式求解，时间复杂度为O（log(N)），用c++来实现的
斐波那契数列 和它的logN解法
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package Fibonacci import "testing" /* 求菲波那切数列矩阵乘法的方法 1. 斐波那契数列的现行求解O(N)的方式非常好理解 2. 同时利用线性代数，可也以改写出另一种表示 |F(N),F(N-1)| = |F(2),F(1)| * 某个二阶矩阵的N-2次方 3. 求出这个二阶矩阵，进而最快求出这个二阶矩阵的N-2次方 推广：矩阵的快速幂 | a b | |F(3),F(2)| = |F(2), F(1)|
斐波那契数列时间复杂度O(logN)
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12-29 2264
斐波那契数列时间复杂度O(logN) 解题思路： 把动态规划转化为矩阵的n次乘法，矩阵的n次乘法等价于计算一个数的n次方，把幂次转化为二进制数，转化为累乘，计算结果 public static void main(String[] args) { for(int i=2;i&lt;20;i++){ int num = getNum(i); System.out.print(...
斐波那契数列解法，矩阵解法，学习
zhm的博客
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链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/c6c7742f5ba7442aada113136ddea0c3 来源：牛客网/*      * O(logN)解法：由f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可以知道      * [f(n),f(n-1)] = [f(n-1),f(n-2)] * {[1,1],[1,0]}      * 所以
【难】【数学】斐波那契数列的O(logn)解法
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题目：《编程之美》 P163 class Matrix { public: unsigned int a11, a12, a21, a22; Matrix(int a, int b, int c, int d) :a11(a), a12(b), a21(c), a22(d){} //重载矩阵的乘法 Matrix operator*(const Matrix &other) { Ma
斐波那契算法详解(logn)
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** 斐波那契算法详解 ** ** 1、斐波那契数列的一般解法： ** #include <stdio.h> int main() { int n ; int fn = 0; int f1, f2; f1 = f2 = 1; printf("请输入需要计算的第几个数："); scanf_s("%d", &n); if (n <= 2) { printf...
斐波那契数列的快速幂解法 O(logN)
qq_39927966的博客
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斐波那契数列的快速幂解法 O(logN) 闲来无事刷题，看到一道极其古老的斐波那契数列求和，想起了校招时华为面试官给我出的就是这道，当时要求在10分钟内写出递归和非递归的解法，并且大致问了下递归解法的坏处（栈溢出）就结束了，后续也一直把其当作一个简单题来对待，想当然的认为其最好的时间复杂度就是O(n)，直到有一天意外接触到了快速幂的概念… 整数快速幂 什么是快速幂，以整数为例，在求an时，按正常思路是让a累乘n次，时间复杂度为O(n)；而在快速幂算法下，将an变换为am1(a2)m2(a4)m3(a8)m4
Fibonacci in O（logn）
snoowball的专栏
10-23 1125
最近在复习算法的一些基本思想，greedy、divide and conquer、dynamic programming……很基本的思想，没有太多的收获。可是刚刚看了一点dp的东西，非常之惊讶，Fibonacci居然可以用O（logn）搞定dp传统思想的话，自然是O（n）然后这个家伙给出了一个恒等式：==》当然，也是我愚钝，看到这里还没有想到可以用O（logn），以为只
c ++ 斐波那契额数列 O（logn）
最新发布
10-04
<think>首先，用户的问题是关于使用C++实现时间复杂度为O(log n)的斐波那契数列算法。我需要基于提供的引用来回答。 回顾引用： - 引用[1]提到矩阵法求斐波那契数列时间复杂度是Θ(log n)。 - 引用[2]是关于斐波那契数列的O(log n)求法，包含C++代码片段，但那是快速幂的代码，不是直接的斐波那契实现。 - 引用[3]提供了C语言实现矩阵快速幂的斐波那契算法。 - 引用[4]讨论了斐波那契数列及其时间复杂度。 - 引用[5]提供了C++实现矩阵快速幂的斐波那契算法。 用户指定了使用C++实现，所以我应该优先参考引用[5]的代码，因为它直接是C++的。引用[3]是C语言的，但逻辑类似。 关键算法：斐波那契数列的O(log n)算法通常基于矩阵乘法，利用快速幂技术。斐波那契数列可以用矩阵来表示： $$ \left(\begin{array}{c} F_{n+1} \\ F_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)^n \left(\begin{array}{c} F_1 \\ F_0 \end{array}\right) $$ 其中$F_0 = 0$, $F_1 = 1$. 所以计算矩阵$\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)^n$ 的时间复杂度为O(log n)通过快速幂。 实现步骤： 1. 定义一个矩阵类或结构体来存储2x2矩阵。 2. 实现矩阵乘法。 3. 实现矩阵的快速幂运算。 4. 编写斐波那契函数，初始化矩阵，计算幂，返回结果。 从引用[5]中提取代码： - 定义Matrix类，重载乘法操作符。 - 实现MatrixPow函数使用快速幂。 - Fibonacci函数处理边界情况，然后调用MatrixPow。 用户要求C++实现，所以我应该提供一个完整的C++代码示例。 结构化回答： - 先简要解释算法原理。 - 然后给出C++代码实现。 - 确保代码正确，基于提供的引用。 代码参考引用[5]： ```cpp class Matrix { public: unsigned int a11, a12, a21, a22; Matrix(int a, int b, int int d) : a11(a), a12(b), a21(c), a22(d) {} Matrix operator*(const Matrix &other) { Matrix r(0,0,0,0); r.a11 = a11*other.a11 + a12*other.a21; r.a12 = a11*other.a12 + a12*other.a22; r.a21 = a21*other.a11 + a22*other.a21; r.a22 = a21*other.a12 + a22*other.a22; return r; } }; Matrix MatrixPow(const Matrix &A, unsigned int m) { Matrix res(1, 0, 0, 1); // Identity matrix Matrix cur = A; while (m) { if (m & 1) res = res * cur; cur = cur * cur; m = m >> 1; } return res; } unsigned int Fibonacci(int n) { if (n < 0) throw new exception; if (n == 0 || n == 1) return n; Matrix A(1, 1, 1, 0); Matrix r = MatrixPow(A, n - 1); return r.a11; } ``` 在引用[5]中，Fibonacci函数返回r.a11，这应该是F_n。因为矩阵$\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)^{n-1} \left(\begin{array}{c}F_1 \\ F_0\end{array}\right)$, 对于n>=2, 结果是F_n。 时间复杂度的解释：MatrixPow使用快速幂，每次乘法操作是常数时间O(1)，因为矩阵是2x2，总共O(log n)步。 系统级指令： - 所有行内数学表达式用$...$，例如时间复杂度$O(\log n)$。 - 独立公式用$$...$$，如矩阵表示。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾添加引用标识。 用户问题：查找使用C++实现时间复杂度为O(logn)的斐波那契数列算法。 生成相关问题：基于内容，例如： 1. 为什么矩阵法的时间复杂度是O(log n)? 2. 如何优化矩阵乘法在斐波那契计算中? 3. 斐波那契数列的其他应用场景? 回答结构： 1. 引言：解释算法原理。 2. C++代码实现。 3. 时间复杂度分析。 4. 相关问题。 最后添加引用标识。引用来自用户提供的[^1], [^2], etc.，但用户说“上述引用仅供参考”，所以我需要自然地引用，如根据[^5]。 完整回答： </think>### 时间复杂度为$O(\log n)$的斐波那契数列算法实现（C++） 斐波那契数列的标准定义为：$F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$（$n \geq 2$）。传统的递归或迭代方法时间复杂度为$O(n)$或更高。基于矩阵快速幂的算法可以将时间复杂度优化到$O(\log n)$，其原理是利用斐波那契数列的矩阵表示： $$ \left(\begin{array}{c} F_{n} \\ F_{n-1} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)^{n-1} \left(\begin{array}{c} F_1 \\ F_0 \end{array}\right) $$ 通过快速幂计算矩阵幂$\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)^{n-1}$，每次矩阵乘法时间复杂度为$O(1)$，快速幂的迭代次数为$O(\log n)$，因此整体时间复杂度为$O(\log n)$[^1][^5]。下面是用C++实现的完整代码。 #### C++代码实现 以下是基于矩阵快速幂的$O(\log n)$时间复杂度斐波那契数列算法的C++实现。代码定义了矩阵类，实现了矩阵乘法和快速幂运算，并提供了完整的测试示例。 ```cpp #include <iostream> #include <stdexcept> // 用于异常处理 // 定义2x2矩阵类 class Matrix { public: unsigned long long a11, a12, a21, a22; // 使用unsigned long long防止大数溢出 Matrix(unsigned long long a, unsigned long long b, unsigned long long c, unsigned long long d) : a11(a), a12(b), a21(c), a22(d) {} // 重载矩阵乘法操作符 Matrix operator*(const Matrix &other) const { return Matrix( a11 * other.a11 + a12 * other.a21, a11 * other.a12 + a12 * other.a22, a21 * other.a11 + a22 * other.a21, a21 * other.a12 + a22 * other.a22 ); } }; // 计算矩阵的快速幂 Matrix matrixPower(const Matrix &A, unsigned int n) { Matrix res(1, 0, 0, 1); // 单位矩阵 Matrix base = A; while (n > 0) { if (n & 1) { res = res * base; } base = base * base; // 矩阵平方 n >>= 1; // 右移一位，相当于n /= 2 } return res; } // 计算斐波那契数列第n项 unsigned long long fibonacci(int n) { if (n < 0) { throw std::invalid_argument("n must be non-negative"); } if (n == 0) return 0; // F(0) = 0 if (n == 1) return 1; // F(1) = 1 Matrix A(1, 1, 1, 0); // 基础矩阵 Matrix result = matrixPower(A, n - 1); // 计算矩阵幂 return result.a11; // 结果存储在a11位置，对应F(n) } // 测试函数 int main() { int n; std::cout << "Enter a non-negative integer n: "; std::cin >> n; try { unsigned long long result = fibonacci(n); std::cout << "Fibonacci(" << n << ") = " << result << std::endl; } catch (const std::exception &e) { std::cerr << "Error: " << e.what() << std::endl; } return 0; } ``` #### 代码说明和复杂度分析 - **矩阵快速幂原理**：算法通过矩阵$\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$的$n-1$次幂计算$F_n$。快速幂每次将指数减半，确保迭代次数为$O(\log n)$[^5]。 - **时间复杂度**：矩阵乘法是常数时间$O(1)$（因为固定为2x2矩阵），快速幂迭代$O(\log n)$次，因此总时间复杂度为$O(\log n)$[^1][^3]。 - **空间复杂度**：$O(1)$，仅使用固定大小的变量。 - **注意事项**：代码使用`unsigned long long`防止溢出，但输入$n$过大时（如$n > 93$）仍可能溢出；实际应用中可添加模运算处理大数[^2][^5]。 #### 性能和应用 该方法高效适用于需要快速计算大$n$斐波那契数的场景，如密码学或动态规划优化[^4][^5]。相比递归法$O(2^n)$或迭代法$O(n)$，它在$n$较大时优势显著[^1][^3]。
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