斐波那契数列求解O(logn)

最新推荐文章于 2024-04-25 01:14:51 发布

嘀嗒嘀嘀嗒嘀

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分类专栏： LeetCode

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本文深入探讨了矩阵幂运算在斐波那契数列计算中的应用，揭示了通过矩阵快速计算斐波那契数的高效算法。通过对矩阵乘法的递归性质分析，提出了一种优化的矩阵幂运算方法，该方法能够显著减少计算次数，适用于大规模数据处理。文章还提供了一个具体的C++实现案例，展示了如何利用矩阵幂运算加速斐波那契数的计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

预备

矩阵幂运算
比如计算矩阵a的4次方，是通过 $b = a * a ， c = b * b$ 得到的答案c,计算了n/2次。
https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

$\begin{aligned} f[n] &= f[n-1] + f[n-2] \\ & = f[n-2] + f[n-3] + f[n-3] + f[n-4]\\ & = f[n-3] + f[n-4] + f[n-4] + f[n-5] + f[n-5] + f[n-6] + f[n-6] + f[n-7]\\ & = ...\\ &= a * f[0] + b * f[1] \end{aligned}$
进而转化为求a,b的值
反推可得：
$\\ f[2] = f[1] + f[0] = 1 * f[1] + 1 * f[0] \\ f[3] = f[2] + f[1] = 2 * f[1] + 1 * f[0] \\ f[4] = f[3] + f[2] = 3 * f[1] + 2 * f[0] \\ f[5] = f[4] + f[3] = 5 * f[1] + 3 * f[0] \\ f[n] = f[n-1] + f[n-2] = a * f[0] + b * f[1]$
观察可得，系数a,b也是累加得出的。
$\begin{bmatrix} f[0]&f[1] \\ \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}^{n-1}$ = $\begin{bmatrix} f[n-1]&f[n] \\ \end{bmatrix}$

class Solution {
public:
    int matrix(int n){
        int a[2][2] = {{0,1},{1,1}};
        int b[2][2] = {{0,1},{1,1}};
        int c[2][2] = {{0,1},{1,1}};
        int d[2][2] = {{0,1},{1,1}};
        int flag = 0;
        if(n % 2)
            flag = 1;
        n /= 2;
        while(n > 1){
            c[0][0] = b[0][0]*a[0][0]+b[0][1]*a[1][0];
            c[0][1] = b[0][0]*a[0][1]+b[0][1]*a[1][1];
            
            c[1][0] = b[1][0]*a[0][0]+b[1][1]*a[1][0];
            c[1][1] = b[1][0]*a[0][1]+b[1][1]*a[1][1];
            for(int i = 0;i < 2;i++)
                for(int j = 0;j < 2;j++)
                    b[i][j] = c[i][j];
            n--;               
        }        
        d[0][0] = c[0][0]*c[0][0]+c[0][1]*c[1][0];
        d[0][1] = c[0][0]*c[0][1]+c[0][1]*c[1][1];

        d[1][0] = c[1][0]*c[0][0]+c[1][1]*c[1][0];
        d[1][1] = c[1][0]*c[0][1]+c[1][1]*c[1][1];
        if(flag == 0){            
            return d[1][0] + d[1][1] * 2;
        }
        else{
            c[1][0] = d[1][0]*a[0][0]+d[1][1]*a[1][0];
            c[1][1] = d[1][0]*a[0][1]+d[1][1]*a[1][1];
            return c[1][0] + c[1][1] * 2;
        }
    }
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 1 || n == 2 || n == 3)
            return n;
        n -= 2;
        return matrix(n);
    }
};