19、离散时间滤波器实现中的量化与误差分析

离散时间滤波器实现中的量化与误差分析

1. 数字表示基础

在数字系统中，数字的表示至关重要。对于IEEE - 754格式下的浮点数，有以下几种特殊情况：
- 当指数部分 (E = 0) 且尾数部分 (M = 0) 时，根据符号位的不同，表示为 (\pm0)，这意味着 (0) 有两种表示形式。
- 当 (E = 255) 且 (M \neq 0) 时，该表示被解释为非数字（NaN），例如在MATLAB中计算 (0/0) 时会得到NaN。
- 当 (E = 255) 且 (M = 0) 时，该表示被解释为 (\pm\infty)，例如在MATLAB中计算 (1/0) 时会得到inf。

示例分析

考虑一个具体的位模式，假设采用IEEE - 754格式，确定其十进制等效值。已知符号位为 (0)，指数代码为 (131)，则指数为 (131 - 127 = 4)，尾数为 (1 + 2^{-1} + 2^{-2} = 1.75)。因此，该位模式表示的数值为 (\hat{x} = +(1 + 2^{-1} + 2^{-2})(2^4) = 2^4 + 2^3 + 2^2 = 28)。

MATLAB在进行数字表示时，采用64位双精度IEEE - 754格式，内部计算采用80位临时格式。由于模拟不同的浮点格式较为复杂且对理解帮助不大，因此通常不考虑在MATLAB中进行浮点运算的模拟。

2. 量化过程与误差特性

2.1 量化操作概述

在实际应用中，对于无限精度的实数，需要将其分配到有限可表示的数字中，通常通过截断和舍入两种操作来实现。这两种操作会影响数字滤波器和数字信号处理（DSP