13、离散傅里叶变换的性质

离散傅里叶变换的性质

离散傅里叶变换（DFT）在信号处理领域有着广泛的应用，其性质对于深入理解和高效计算DFT非常重要。下面将详细介绍DFT的一些重要性质。

1. 线性性质

DFT是一种线性变换，满足以下公式：
[DFT [ax_1(n) + bx_2(n)] = a DFT [x_1(n)] + b DFT [x_2(n)]]
如果(x_1(n))和(x_2(n))的长度不同，分别为(N_1)点和(N_2)点序列，那么需要选择(N_3 = \max(N_1, N_2))，并进行(N_3)点的DFT计算。

2. 循环折叠性质

当对一个(N)点序列进行折叠时，直接得到的(x(-n))不再是(N)点序列，无法计算其DFT。因此，引入模(N)运算来定义循环折叠：
[x ((-n))_N =
\begin{cases}
x(0), & n = 0 \
x(N - n), & 1 \leq n \leq N - 1
\end{cases}]
可以将序列(x(n))想象成逆时针缠绕在一个圆上，使得(n = 0)和(n = N)重叠，那么(x((-n))_N)就是(x(n))顺时针缠绕在圆上，这就是循环折叠的直观理解。在MATLAB中，可以通过 x=x(mod(-n,N)+1) 实现循环折叠。其DFT为：
[DFT [x ((-n))_N] = X ((-k))_N =
\begin{cases}
X(0), & k = 0 \
X(N - k), & 1 \leq k \leq N - 1