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组合数学基础概念与相关公式解析
1. 基本组合概念
在初等组合学中，有三个基本概念：排列、组合和变分。
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排列（Permutation）
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无重复元素排列
：(n) 个对象的一个给定顺序就是它们的一个排列，排列总数记为 (n!)，计算公式为 (n! = 1\times2\times\cdots\times n)。例如，要对 (n) 个元素进行排序，第一个元素有 (n) 个位置可选，第二个元素有 (n - 1) 个位置可选，以此类推，最后一个元素只有 1 个位置可选。
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有重复元素排列
：若 (n) 个对象中有 (l_1, l_2, \cdots, l_k) 个不可区分的元素，且 (l_1 + l_2 + \cdots + l_k = n)，则这样的排列为有重复元素的排列，其总数为 (\frac{n!}{l_1!l_2!\cdots l_k!})，这里左边的符号是多项式系数。
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变分（Variation）
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无重复变分
：从 (n) 个不同对象中选择 (k) 个对象，且 (k) 个元素的顺序有意义，则所选对象构成无重复变分。无重复变分的数量为 (n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - (k - 1)) = \frac{n!}{(n - k)!}=n^{\underline{k}})。例如，第一个元素有 (n) 种选法，第二个元素有 (n - 1) 种选法，以此类推，第 (k) 个元素有 (n - (k - 1)) 种选法。
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有重复变分
：从 (n) 个对象中选择 (k) 个对象，顺序有意义且元素可多次选择，则得到有重复变分。每次都从 (n) 个元素中选择，共选 (k) 次，所以有重复变分的数量为 (n^k)。
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组合（Combination）
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无重复组合
：从 (n) 个对象中选择 (k) 个对象，不考虑顺序，则为无重复组合。给定 (n) 和 (k)，无重复组合的数量为 (\frac{n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - (k - 1))}{k!}=\frac{n!}{k!(n - k)!}=\binom{n}{k})，符号 (\binom{n}{k}) 称为二项式系数。
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有重复组合
：从 (n) 个对象中选择 (k) 个对象，不考虑顺序且元素可重复选择，其数量为 (\binom{n + k - 1}{k})。证明思路是将所选对象编号并排序，然后通过增加编号将问题转化为从 (n + k - 1) 个不同标签中无重复地选择 (k) 个标签的组合问题。
下面用表格总结这些概念和公式：
|概念|是否考虑顺序|元素能否重复|数量公式|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|无重复排列|是|否|(n!)|
|有重复排列|是|是|(\frac{n!}{l_1!l_2!\cdots l_k!})|
|无重复变分|是|否|(n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - (k - 1))=\frac{n!}{(n - k)!})|
|有重复变分|是|是|(n^k)|
|无重复组合|否|否|(\frac{n!}{k!(n - k)!})|
|有重复组合|否|是|(\binom{n + k - 1}{k})|
2. 多项式定理
- 二项式定理 ：((x_1 + x_2)^k=\sum_{j = 0}^{k}\binom{k}{j}x_1^jx_2^{k - j})。
- 多项式定理 ：((x_1 + x_2+\cdots + x_n)^k=\sum_{j_1 + j_2+\cdots + j_n = k}\frac{k!}{j_1!j_2!\cdots j_n!}x_1^{j_1}x_2^{j_2}\cdots x_n^{j_n})。证明过程是将幂展开为 ((x_1 + x_2+\cdots + x_n)(x_1 + x_2+\cdots + x_n)\cdots(x_1 + x_2+\cdots + x_n))，然后分析每个项的选择情况。当 (n = 2) 时，多项式定理就退化为二项式定理。
- 特殊情况 ：当 (x_1 = x_2 = 1) 时，(2^k=\sum_{j = 0}^{k}\binom{k}{j})。可以通过组合的方式证明，考虑从一个 (k) 元集合中选择 (0, 1, 2, \cdots, k) 个元素的所有情况，每种情况对应一个列表，列表中用 (1) 和 (0) 表示元素是否被选择，总共有 (2^k) 种可能的列表。
下面是多项式定理的推导流程 mermaid 图：
graph TD;
A[展开\((x_1 + x_2+\cdots + x_n)^k\)] --> B[分析每个括号中元素的选择情况];
B --> C[确定\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的选择次数\(j_1,j_2,\cdots,j_n\)];
C --> D[计算选择的可能性数量\(\binom{k}{j_1}\binom{k - j_1}{j_2}\cdots\binom{k - j_1 - j_2-\cdots - j_{n - 1}}{j_n}\)];
D --> E[化简得到\(\frac{k!}{j_1!j_2!\cdots j_n!}\)];
E --> F[得到多项式定理\(\sum_{j_1 + j_2+\cdots + j_n = k}\frac{k!}{j_1!j_2!\cdots j_n!}x_1^{j_1}x_2^{j_2}\cdots x_n^{j_n}\)];
3. 兰伯特 W 函数
兰伯特 W 函数可以隐式定义为超越方程 (W(z)e^{W(z)} = z) 的解。当 (z\neq0) 时，方程有无限多个解，这些解可以用整数索引，即 (W) 函数有无限多个分支，记为 (W_k(z))。除了 (W_{-1}) 和 (W_0) 分支，其他分支都是复值的，不取得实数值。(W_{-1}(z)) 在 (-\frac{1}{e}\leq z < 0) 时为实数，(W_0(z)) 在 (z\in[-\frac{1}{e},+\infty)) 时为实数，(W_0(z)) 称为主分支。一些特殊值如下：
- (W(0) = 0)
- (W(e) = 1)
- (W(-\frac{1}{e}) = -1)
- (W(-\frac{\log(2)}{2}) = -\log(2))
- (W(1)=\Omega = 0.567143290409784\cdots)
在组合学中，兰伯特 W 函数常用于近似计算，当 (z\to\infty) 时，(W(z)\sim\log z-\log\log z)。
4. 斯特林数相关公式
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第一类斯特林数
- 递归公式 ：(\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}=(n - 1)\begin{bmatrix}n - 1\k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n - 1\k - 1\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix}=1)，(\begin{bmatrix}n\0\end{bmatrix}=0(n > 0))。
- 特殊值 ：如 (\begin{bmatrix}n\1\end{bmatrix}=(n - 1)!)，(\begin{bmatrix}n\2\end{bmatrix}=(n - 1)!H_{n - 1}) 等。
- 生成函数 ：(\sum_{k = 0}^{n}\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}x^k=x(x + 1)(x + 2)\cdots(x + n - 1)=x^{\overline{n}}) 等。
- 正交性 ：(\sum_{n = k}^{m}\begin{bmatrix}m\n\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}=\begin{cases}1, & \text{if } m = k\0, & \text{otherwise}\end{cases})。
- 渐近公式 ：(\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}\sim\frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(\ln n+\gamma)^{k - 1}})。
- 同余公式 ：如 (\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}\equiv\binom{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{k-\lceil\frac{n}{2}\rceil}(\bmod 2)) 等。
- 其他公式 ：包括与第二类斯特林数的关系、行列式公式等。
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第二类斯特林数
- 递归公式 ：(\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n - 1\k - 1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n - 1\k\end{Bmatrix})，(\begin{Bmatrix}0\0\end{Bmatrix}=1)，(\begin{Bmatrix}n\0\end{Bmatrix}=0(n > 0))。
- 特殊值 ：如 (\begin{Bmatrix}n\1\end{Bmatrix}=1)，(\begin{Bmatrix}n\2\end{Bmatrix}=2^{n - 1}-1) 等。
- 生成函数 ：(\sum_{k = 0}^{n}\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}x(x - 1)(x - 2)\cdots(x - k + 1)=x^n) 等。
- 正交性 ：与第一类斯特林数有正交关系 (\sum_{n = k}^{m}\begin{bmatrix}m\n\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}=\begin{cases}1, & \text{if } m = k\0, & \text{otherwise}\end{cases})。
- 渐近公式 ：(\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}\sim\frac{k^n}{k!})。
- 同余公式 ：如 (\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}\equiv\binom{\lceil\frac{k}{2}\rceil + n - k - 1}{n - k}(\bmod 2)) 等。
- 其他公式 ：包括与欧拉数的关系、行列式公式等。
下面用表格对比第一类和第二类斯特林数的部分公式：
|斯特林数类型|递归公式|特殊值示例|生成函数示例|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|第一类斯特林数|(\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}=(n - 1)\begin{bmatrix}n - 1\k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n - 1\k - 1\end{bmatrix})|(\begin{bmatrix}n\1\end{bmatrix}=(n - 1)!)|(\sum_{k = 0}^{n}\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}x^k=x^{\overline{n}})|
|第二类斯特林数|(\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n - 1\k - 1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n - 1\k\end{Bmatrix})|(\begin{Bmatrix}n\1\end{Bmatrix}=1)|(\sum_{k = 0}^{n}\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}x(x - 1)\cdots(x - k + 1)=x^n)|
5. r - 斯特林数相关公式
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r - 第一类斯特林数
- 递归公式 ：当 (n < r) 时，(\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}_r = 0)；当 (n = r) 且 (k = r) 时，(\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}_r = 1)；当 (n = r) 且 (k\neq r) 时，(\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}_r = 0)。
- 特殊值 ：如 (\begin{bmatrix}n\r\end{bmatrix}_r = r^{n - r})，(\begin{bmatrix}n\n\end{bmatrix}_r = 1(n\geq r))，(\begin{bmatrix}n + r\r + 1\end{bmatrix}_r = n!H_n^r)。
- 生成函数 ：(\sum_{k = 0}^{n}\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}_r x^k = x^r(x + r)(x + r + 1)\cdots(x + n - 1)) 等。
- 正交性 ：(\sum_{n = k}^{m}\begin{bmatrix}m\n\end{bmatrix}_r\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}_r=\begin{cases}1, & \text{if } m = k\0, & \text{otherwise}\end{cases})。
- 广义正交性 ：(\sum_{k}\begin{bmatrix}n + r\k + r\end{bmatrix}_r\begin{Bmatrix}k + p\m + p\end{Bmatrix}_p(-1)^{m + k}=\binom{n}{m}(r - p)^{n - m})。
- 其他公式 ：包含多种与其他斯特林数的关系公式，如 (\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix} r=\frac{1}{r - 1}(\begin{bmatrix}n\k - 1\end{bmatrix} {r - 1}-\begin{bmatrix}n\k - 1\end{bmatrix}_r)) 等。
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r - 第二类斯特林数
- 递归公式 ：当 (n < r) 时，(\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}_r = 0)；当 (n = r) 且 (k = r) 时，(\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}_r = 1)；当 (n = r) 且 (k\neq r) 时，(\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}_r = 0)；(\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}_r=\begin{Bmatrix}n - 1\k - 1\end{Bmatrix}_r + k\begin{Bmatrix}n - 1\k\end{Bmatrix}_r)。
- 特殊值 ：如 (\begin{Bmatrix}n\r\end{Bmatrix}_r = r^{n - r})，(\begin{Bmatrix}n\r + 1\end{Bmatrix}_r=(r + 1)^{n - r}-r^{n - r}) 等。
- 生成函数 ：(\sum_{k = 0}^{n}\begin{Bmatrix}n + r\k + r\end{Bmatrix}_r x(x - 1)\cdots(x - k + 1)=(x + r)^n) 等。
- 正交性 ：与 r - 第一类斯特林数有正交关系 (\sum_{n = k}^{m}\begin{bmatrix}m\n\end{bmatrix}_r\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}_r=\begin{cases}1, & \text{if } m = k\0, & \text{otherwise}\end{cases})。
- 广义正交性 ：同 r - 第一类斯特林数的广义正交性公式。
- 渐近公式 ：(\begin{Bmatrix}n + r\k + r\end{Bmatrix}_r\sim\frac{(k + r)^n}{k!})。
- 其他公式 ：包含与其他斯特林数的关系公式，如 (\begin{Bmatrix}n + r\k + r\end{Bmatrix} r=\frac{1}{k!}\sum {l = 0}^{k}\binom{k}{l}(l + r)^n(-1)^{k - l}) 等。
以下是 r - 斯特林数相关公式的总结表格：
|r - 斯特林数类型|递归公式|特殊值示例|生成函数示例|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|r - 第一类斯特林数|多种条件确定(\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}
r)的值|(\begin{bmatrix}n\r\end{bmatrix}_r = r^{n - r})|(\sum
{k = 0}^{n}\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}
r x^k = x^r(x + r)\cdots(x + n - 1))|
|r - 第二类斯特林数|多种条件确定(\begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix}_r)的值|(\begin{Bmatrix}n\r\end{Bmatrix}_r = r^{n - r})|(\sum
{k = 0}^{n}\begin{Bmatrix}n + r\k + r\end{Bmatrix}_r x(x - 1)\cdots(x - k + 1)=(x + r)^n)|
6. 水平生成多项式的性质
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贝尔多项式
- 生成函数 ：(\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{B_n(x)y^n}{n!}=\exp(x(e^y - 1)))，(\sum_{n = 0}^{\infty}B_n(x)y^n=\frac{1}{e^x}{}_1F_1\left(\begin{matrix}-1\z\end{matrix}\left|\begin{matrix}z - 1\z\end{matrix}\right.x\right))。
- 递推关系 ：(B_n(x)=xB_n - 1(x)+xB_{n - 1}’(x)=e^{-x}x(e^xB_{n - 1}(x))’)。
- 其他性质 ：(B_n(x + y)=\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}B_k(x)B_{n - k}(y))，(B_{n + 1}(x)=x\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}B_k(x)) 等。并且贝尔多项式除 (B_0(x) = 1) 外只有实的负零点，最左边零点的增长速度有一定范围。
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r - 贝尔多项式
- 生成函数 ：(\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{B_n,r(x)y^n}{n!}=e^{x(e^y - 1)+ry})，(\sum_{n = 0}^{\infty}B_n,r(x)z^n=\frac{-1}{rz - 1}\frac{1}{e^x}{}_1F_1\left(\begin{matrix}rz - 1\z\end{matrix}\left|\begin{matrix}rz + z - 1\z\end{matrix}\right.x\right))。
- 递推关系 ：(B_n,r(x)=\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}B_k(x)r^{n - k}) 等多种递推公式。
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富比尼多项式
- 生成函数 ：(\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{F_n(x)y^n}{n!}=\frac{1}{1 - x(e^y - 1)})。
- 递推关系 ：(F_n(x)=x[F_{n - 1}(x)+(1 + x)F_{n - 1}’(x)]=x((1 + x)F_{n - 1}(x))’)。富比尼多项式只有实的负零点，且所有零点属于 ((-1,0])。
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欧拉多项式
- 生成函数 ：(\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{E_n(x)y^n}{n!}=\frac{x - 1}{x - e^{(x - 1)y}})。
- 递推关系 ：(E_n(x)=(1+(n - 1)x)E_{n - 1}(x)+(x - x^2)E_{n - 1}’(x))。欧拉多项式只有实的负零点。
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r - 富比尼多项式
- 生成函数 ：(\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{F_n,r(x)t^n}{n!}=\frac{r!e^{rt}}{(1 - x(e^t - 1))^{r + 1}}=r!e^{rt}\left(\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{F_n(x)t^n}{n!}\right)^{r + 1})。
- 递推关系 ：(F_n,r(x)=x[(r + 1)F_{n - 1},r(x)+(1 + x)F_{n - 1},r’(x)]+rF_{n - 1},r(x)) 等。r - 富比尼多项式只有实的负零点，且所有零点属于 ((-1,0))（(r>0)）。
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r - 欧拉多项式
- 生成函数 ：(\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{E_n,r(x)t^n}{n!}=r!e^{r(x - 1)t}\left(\frac{x - 1}{x - e^{(x - 1)z}}\right)^{r + 1})。
- 递推关系 ：(E_n,r(x)=(1+(n + r - 1)x)E_{n - 1},r(x)+(x - x^2)E_{n - 1},r’(x))。r - 欧拉多项式只有实的负零点。
下面是水平生成多项式性质的关系 mermaid 图：
graph LR;
A[贝尔多项式] --> B[r - 贝尔多项式];
C[富比尼多项式] --> D[r - 富比尼多项式];
E[欧拉多项式] --> F[r - 欧拉多项式];
A --> G(生成函数、递推关系等性质);
B --> G;
C --> G;
D --> G;
E --> G;
F --> G;
综上所述，组合数学中的这些概念、定理和多项式有着丰富的内涵和广泛的应用。从基本的排列组合概念到复杂的斯特林数和各类多项式，它们之间相互关联，构成了一个完整的理论体系。通过对这些知识的深入理解和掌握，可以更好地解决组合计数、概率分析等领域的问题。
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