28、利用有限域方法研究同余问题

利用有限域方法研究同余问题

在数学领域中，计数序列的模 $p$ 性质可以在有限域的框架下进行研究。研究发现，许多计数序列满足模 $p$ 的线性同余关系，而有限域上的线性同余理论已经有了较为完善的发展。

1. 汉克尔矩阵的应用

汉克尔矩阵在计数序列的模 $p$ 理论中有有趣的应用。我们考虑寻找形如 $A_{n + k} \equiv a_0A_n + a_1A_{n + 1} + \cdots + a_{k - 1}A_{n + k - 1} \pmod{p}$ 的同余关系，这是一个 $k$ 阶的递推关系。

例如，对于贝尔数序列 $B_n$，有 Touchard 同余式 $B_{n + p} \equiv B_n + B_{n + 1} \pmod{p}$；对于 Fubini 数，有 $F_{n + p} \equiv F_{n + 1} \pmod{p}$。

为了证明这类同余关系，我们可以将其写成线性方程组的矩阵形式：
[
\begin{pmatrix}
A_0 & A_1 & \cdots & A_{k - 1} \
A_1 & A_2 & \cdots & A_k \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
A_{k - 1} & A_k & \cdots & A_{2k - 2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \
a_1 \
\vdots \
a_{k - 1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A_k \
A_{k + 1} \
\vdots \
A_{2k - 1}
\end{pmatrix}
]
其中系数矩阵是一个 $k \times k$ 的汉克尔矩阵。如果该矩阵可逆（即其行列式模 $p$ 不为零），则系数 $a_i$ 可以唯一确定：
[
\begin{pmatrix}
a_0 \
a_1 \
\vdots \
a_{k - 1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A_0 & A_1 & \cdots & A_{k - 1} \
A_1 & A_2 & \cdots & A_k \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
A_{k - 1} & A_k & \cdots & A_{2k - 2}
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
A_k \
A_{k + 1} \
\vdots \
A_{2k - 1}
\end{pmatrix}
]

下面通过具体例子说明：
- Touchard 同余式 ：对于贝尔数，$k \times k$ 汉克尔行列式为 $\prod_{i = 0}^{k - 1} i!$。当 $k = p = 3$ 时，贝尔数的汉克尔矩阵为
[
\begin{pmatrix}
B_0 & B_1 & B_2 \
B_1 & B_2 & B_3 \
B_2 & B_3 & B_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \
1 & 2 & 5 \
2 & 5 & 15
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \
1 & 2 & 2 \
2 & 2 & 0
\end{pmatrix}
\pmod{3}
]
其逆矩阵为
[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \
2 & -1 & -1 \
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \
2 & 2 & 0 \
2 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\pmod{3}
]
又因为
[
\begin{pmatrix}
B_3 \
B_4 \
B_5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 \
15 \
52
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
2 \
0 \
1
\end{pmatrix}
\pmod{3}
]
所以
[
\begin{pmatrix}
a_0 \
a_1 \
a_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \
2 & 2 & 0 \
2 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \
0 \
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 \
4 \
6
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
1 \
1 \
0
\end{pmatrix}
\pmod{3}
]
从而得到 $B_{n + 3} \equiv B_n + B_{n + 1} \pmod{3} (n \geq 0)$，这是 Touchard 同余式的一个特例。

• 对合的简单同余式 ：对于对合 $I_n$，当 $k = p = 5$ 时，汉克尔矩阵为
  [
  \begin{pmatrix}
  1 & 1 & 2 & 4 & 0 \
  1 & 2 & 4 & 0 & 1 \
  2 & 4 & 0 & 1 & 1 \
  4 & 0 & 1 & 1 & 2 \
  0 & 1 & 1 & 2 & 4
  \end{pmatrix}
  ]
  等式右边的向量为
  [
  \begin{pmatrix}
  I_5 \
  I_6 \
  I_7 \
  I_8 \
  I_9
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
  1 \
  1 \
  2 \
  4 \
  0
  \end{pmatrix}
  \pmod{5}
  ]
  由于该向量与系数矩阵的第一列相同，根据克莱姆法则，可得 $a_0 = 1$，$a_2 = \cdots = a_4 = 0$，从而得到同余式 $I_{n + 5} \equiv I_n \pmod{5}$。实际上，对于奇数 $m$ 和 $n \geq 0$，有 $I_{n + m} \equiv I_n \pmod{m}$。

2. 特征多项式

特征多项式在模 $p$ 递推序列理论中起着重要作用。

2.1 定义

设序列 ${A_n}$ 满足模 $p$ 的递推关系 $A_{n + k} \equiv a_0A_n + a_1A_{n + 1} + \cdots + a_{k - 1}A_{n + k - 1} \pmod{p}$，其中 $a_0, \cdots, a_{k - 1} \in \mathbb{F} p$，则该序列的特征多项式为 $f(x) = x^k - a {k - 1}x^{k - 1} - a_{k - 2}x^{k - 2} - \cdots - a_1x - a_0$。例如，贝尔数模 $p$ 序列的特征多项式为 $f(x) = x^p - x - 1$。

2.2 利用特征多项式的零点表示模 $p$ 序列

设 ${A_n}$ 是 $\mathbb{F} p$ 上的 $k$ 阶线性递推序列，其特征多项式 $f(x)$ 的所有零点 $\alpha_1, \cdots, \alpha_k$ 互不相同，则序列的项可以表示为 $A_n \equiv \sum {j = 1}^{k} \beta_j\alpha_j^n \pmod{\mathbb{F}_p/ f(x)} (n \geq 0)$，其中 $\beta_j$ 由序列唯一确定，且属于 $f(x)$ 的分裂域。

证明过程如下：
- 首先证明 $\beta_j$ 由 ${A_n}$ 唯一确定。由方程组 $\sum_{j = 1}^{k} \beta_j\alpha_j^n = A_n (n = 0, 1, \cdots, k - 1)$，其系数矩阵是范德蒙德型的，由于 $f(x)$ 零点的条件，该矩阵可逆，所以 $\beta_j$ 可以在 $f(x)$ 的分裂域中找到。
- 然后证明上述表示式成立。只需证明右边满足与 ${A_n}$ 相同的递推关系：
[
\sum_{j = 1}^{k} \beta_j\alpha_j^{n + k} - a_{k - 1}\sum_{j = 1}^{k} \beta_j\alpha_j^{n + k - 1} - \cdots - a_0\sum_{j = 1}^{k} \beta_j\alpha_j^n = \sum_{j = 1}^{k} \beta_jf(\alpha_j)\alpha_j^n = 0
]
因为 $\alpha_j$ 是 $f(x)$ 的零点。

2.3 贝尔数模 2 和模 3 的情况

• 贝尔数模 2 ：当 $p = 2$ 时，特征多项式为 $x^2 - x - 1$，其分裂域为 $\mathbb{F}_2/(x^2 - x - 1) = {0, 1, x, 1 + x}$，零点为 $x$ 和 $1 + x$。所以有 $B_n \equiv \beta_1x^n + \beta_2(1 + x)^n \pmod{2}$。当 $n = 0$ 和 $n = 1$ 时，可得 $\beta_1 = x$，$\beta_2 = 1 + x$，即 $B_n \equiv x^{n + 1} + (1 + x)^{n + 1} \pmod{\mathbb{F}_2/(x^2 - x - 1)}$。进一步计算可得：
  [
  x^{n + 1} =
  \begin{cases}
  x, & \text{if } n \equiv 0 \pmod{3} \
  x + 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{3} \
  1, & \text{if } n \equiv 2 \pmod{3}
  \end{cases}
  ]
  [
  (1 + x)^{n + 1} =
  \begin{cases}
  x + 1, & \text{if } n \equiv 0 \pmod{3} \
  x, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{3} \
  1, & \text{if } n \equiv 2 \pmod{3}
  \end{cases}
  ]
  所以 $B_n \equiv
  \begin{cases}
  1, & \text{if } n \equiv 0 \pmod{3} \
  1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{3} \
  0, & \text{if } n \equiv 2 \pmod{3}
  \end{cases} \pmod{2}$，即第 $n$ 个贝尔数 $B_n$ 为偶数当且仅当 $n = 3k + 2 (k = 0, 1, \cdots)$。

• 贝尔数模 3 ：当 $p = 3$ 时，特征多项式为 $x^3 - x - 1$，其分裂域为 $\mathbb{F}_3/(x^3 - x - 1)$，一个零点为 $x$。根据有限域理论，其他零点为 $x^3$ 和 $x^9$，在该域中可化简为 $\alpha_1 = x$，$\alpha_2 = x^3 = x + 1$，$\alpha_3 = x^9 = 2 + x$。由方程组
  [
  \begin{cases}
  1 = \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 \
  1 = \beta_1\alpha_1 + \beta_2\alpha_2 + \beta_3\alpha_3 \
  2 = \beta_1\alpha_1^2 + \beta_2\alpha_2^2 + \beta_3\alpha_3^2
  \end{cases}
  ]
  可解得 $\beta_1 = 2x^2 + 2x + 2$，$\beta_2 = 2x^2$，$\beta_3 = 2x^2 + x + 2$，所以 $B_n \equiv (2x^2 + 2x + 2)x^n + 2x^2x^{3n} + (2x^2 + x + 2)x^{9n} \pmod{\mathbb{F}_3/(x^3 - x - 1)}$，进一步可化简为 $B_n \equiv (2x^2 + 2x + 2)x^n + 2x^2(1 + x)^n + (2x^2 + x + 2)(2 + x)^n \pmod{\mathbb{F}_3/(x^3 - x - 1)}$。

2.4 模 $p$ 的一般周期性

我们考虑是否存在 $k$ 使得 $A_{n + k} \equiv A_n \pmod{p}$。如果 $k$ 是一个周期，那么 $k$ 的倍数也是周期，我们通常指的是最短周期。

对于满足线性齐次递推关系且特征多项式 $f(x)$ 不可约、零点互不相同的序列 ${A_n}$，其周期性 $k$ 等于序列 $(x^n)_{n \geq 0}$ 模 $f(x)$ 的周期性。即 $k$ 是使得 $x^k \equiv 1 \pmod{f(x)}$ 的最小正整数，也就是特征多项式 $f(x)$ 整除 $x^k - 1$ 的最小 $k$，这个 $k$ 称为 $f(x)$ 的阶。

如果 $x^{n + k} \equiv x^n \pmod{f(x)}$ 从某个 $n$ 开始成立，则序列从该 $n$ 起是周期的，$n - 1$ 之前的元素构成预周期。当 $f(0) \neq 0$ 时，预周期为零；如果 $f(x) = x^h g(x)$ 且 $g(x) \neq 0$，则预周期长度为 $h$。

例如，对于 Fubini 数，其特征多项式为 $f(x) = x^p - x = x(x^{p - 1} - 1)$，所以 $F_n$ 模 $p$ 有长度为 1 的预周期，周期为 $p - 1$。如当 $p = 5$ 时，$F_n \pmod{5}$ 的序列为 $1, 1, 3, 3, 0, 1, 3, 3, 0, 1, 3, 3, 0, \cdots$，周期为 $p - 1 = 4$，预周期为 1。

3. 最小多项式

如果一个模 $p$ 序列满足某个线性递推关系，那么它也满足许多其他的递推关系。我们可以定义最小多项式：

3.1 定义

首项系数为 1 且次数为正的多项式 $m(x)$ 是线性递推序列 ${A_0, A_1, \cdots}$ 的最小多项式，如果它整除该序列的所有特征多项式。

最小多项式有以下性质：
- 任何线性递推序列都存在唯一的最小多项式。
- 最小多项式是对应于最小可能阶数的线性递推的特征多项式。
- 最小多项式的阶数与它所对应的线性递推的周期一致。
- 如果一个序列的某个特征多项式是首一不可约的，那么它就是最小多项式。

3.2 Berlekamp – Massey 算法

该算法是一个递归算法，当我们知道最小多项式的次数上界 $k$ 时，可以在有限步内生成最小多项式。

设 ${A_0, A_1, \cdots}$ 是一个序列，$G(x) = \sum_{n = 0}^{2k - 1} A_nx^n$ 是前 $2k$ 项的生成函数。我们递归定义多项式 $g_j(x)$ 和 $h_j(x)$ 以及数 $m_j$，$b_j (j = 0, 1, \cdots)$ 如下：
- $g_0(x) = 1$，$h_0(x) = x$，$m_0 = 0$。
- 令 $b_j$ 是 $g_j(x)G(x)$ 中 $x^j$ 的系数，
- $g_{j + 1}(x) = g_j(x) - b_jh_j(x)$
- $h_{j + 1}(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{b_j}x g_j(x), & \text{if } b_j \neq 0 \text{ and } m_j \geq 0 \
x h_j(x), & \text{otherwise}
\end{cases}$
- $m_{j + 1} =
\begin{cases}
-m_j, & \text{if } b_j \neq 0 \text{ and } m_j \geq 0 \
m_j + 1, & \text{otherwise}
\end{cases}$

如果最小多项式 $m(x)$ 的次数为 $k$，则 $m(x) = x^k g_{2k}(\frac{1}{x})$；如果只知道 $m(x)$ 的次数有上界 $k$，则令 $r = \lfloor \frac{k + 1}{2} - \frac{1}{2}m_{2k} \rfloor$，此时 $m(x) = x^r g_{2k}(\frac{1}{x})$。

该算法只使用序列 ${A_n}$ 的前 $2k$ 项，所以 $G(x)$ 足够，不需要整个生成函数。

以下是用 Mathematica 实现 Berlekamp – Massey 算法的代码：

g[x, 0] := 1
h[x, 0] := x
m[0] := 0
For[j = 0, j <= 2k, j++,
  b[j] = SeriesCoefficient[g[x, j]*G[x], {x, 0, j}];
  g[x, j + 1] = g[x, j] - b[j]*h[x, j];
  h[x, j + 1] = If[b[j] != 0 && m[j] >= 0, 1/b[j]*x*g[x, j], x*h[x, j]];
  m[j + 1] = If[b[j] != 0 && m[j] >= 0, -m[j], m[j] + 1]
] (*End of For*)
r := Floor[(k + 1)/2 - 1/2*m[2k]]
PolynomialMod[x^r*g[1/x, 2k], p] // Expand

例如，对于贝尔多项式模 $p = 5$，已知 $B_n \pmod{5}$ 的前几项为
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| $B_n \pmod{5}$ | 1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 |

我们设置 $p := 5$，$G[x] := 1 + 1 x + 2 x^2 + 2 x^5 + 3 x^6 + 2 x^7 + 2 x^9$，运行算法得到最小多项式为 $m(x) = x^5 + 4x + 4 \equiv x^5 - x - 1 \pmod{5}$，即 $B_{n + 5} + 4B_{n + 1} + 4B_n \equiv 0 \pmod{5}$，可整理为 $B_{n + 5} \equiv B_{n + 1} + B_n \pmod{5}$。通过计算机检查可知，$x^{781} - 1$ 除以 $x^5 - x - 1$ 的余数为零，且对于小于 781 的其他指数，余数不为零，所以 $B_n \pmod{5}$ 的最小周期为 781，且没有预周期。

综上所述，利用有限域方法，通过汉克尔矩阵、特征多项式和最小多项式等工具，我们可以深入研究计数序列的模 $p$ 性质，包括同余关系、周期性等，为相关数学问题的研究提供了有力的工具和方法。

利用有限域方法研究同余问题（续）

4. 最小多项式的进一步探讨

最小多项式在研究模 $p$ 序列的性质中扮演着关键角色。它不仅与序列满足的线性递推关系紧密相关，还能帮助我们更深入地理解序列的周期性和其他特性。

4.1 最小多项式与特征多项式的关系

我们已经知道，最小多项式 $m(x)$ 整除序列的所有特征多项式。这一性质为我们分析序列的递推关系提供了重要线索。例如，当我们找到一个序列的某个特征多项式 $f(x)$ 时，我们可以通过判断 $m(x)$ 是否整除 $f(x)$ 来验证该特征多项式是否符合序列的最小递推要求。

假设我们有一个序列 ${A_n}$，其特征多项式为 $f(x)$，最小多项式为 $m(x)$。如果 $f(x)$ 可以表示为 $f(x) = q(x)m(x)$，其中 $q(x)$ 是一个多项式，那么这意味着 $f(x)$ 所对应的递推关系包含了 $m(x)$ 所对应的最小递推关系。这也说明，我们可以从 $f(x)$ 中提取出更简洁的递推信息，即通过 $m(x)$ 来描述序列的本质递推规律。

4.2 最小多项式与周期性的联系

最小多项式的阶与序列的最短周期密切相关。如前文所述，序列的周期 $k$ 是使得特征多项式 $f(x)$ 整除 $x^k - 1$ 的最小正整数。由于最小多项式 $m(x)$ 整除所有特征多项式，所以 $m(x)$ 的阶也决定了序列的最短周期。

例如，对于贝尔数模 $p$ 的情况，我们通过计算最小多项式 $m(x)$ 来确定其周期。在 $p = 5$ 的例子中，我们得到最小多项式 $m(x) = x^5 - x - 1$，通过计算机检查发现 $x^{781} - 1$ 能被 $m(x)$ 整除，且小于 781 的指数都不满足这一条件，所以贝尔数模 5 的最短周期为 781。这表明，最小多项式为我们准确计算序列的周期提供了有效的途径。

5. 应用案例分析

为了更直观地展示上述理论在实际中的应用，我们通过几个具体的案例来进一步说明。

5.1 新序列的研究

当我们面对一个新的计数序列时，我们可以按照以下步骤来研究其模 $p$ 性质：
1. 构建汉克尔矩阵 ：根据序列的前若干项构建不同阶数的汉克尔矩阵。例如，对于一个新序列 ${C_n}$，我们可以构建 $k \times k$ 的汉克尔矩阵
[
\begin{pmatrix}
C_0 & C_1 & \cdots & C_{k - 1} \
C_1 & C_2 & \cdots & C_k \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
C_{k - 1} & C_k & \cdots & C_{2k - 2}
\end{pmatrix}
]
2. 计算汉克尔行列式 ：计算汉克尔矩阵的行列式，判断其模 $p$ 是否为零。如果行列式模 $p$ 不为零，则可以通过矩阵求逆来确定递推关系的系数。
3. 确定特征多项式 ：根据得到的递推关系，确定序列的特征多项式 $f(x)$。
4. 分析特征多项式的零点 ：找出特征多项式的零点，利用这些零点表示序列的项。
5. 计算最小多项式 ：使用 Berlekamp – Massey 算法计算序列的最小多项式 $m(x)$。
6. 确定周期 ：通过计算 $m(x)$ 的阶，确定序列的最短周期。

通过以上步骤，我们可以全面了解新序列的模 $p$ 性质，包括同余关系、周期性等。

5.2 优化算法性能

在实际应用中，我们可能需要对算法进行优化以提高计算效率。例如，在计算汉克尔矩阵的逆矩阵时，可以采用更高效的矩阵求逆算法。另外，在计算特征多项式的零点时，可以利用有限域的性质和相关定理来减少计算量。

对于 Berlekamp – Massey 算法，我们可以对其进行如下优化：
1. 减少不必要的计算 ：在递归定义多项式 $g_j(x)$ 和 $h_j(x)$ 以及数 $m_j$，$b_j$ 的过程中，我们可以根据具体情况提前判断某些计算是否必要，避免不必要的计算步骤。
2. 利用并行计算 ：对于大规模的序列计算，可以考虑使用并行计算技术来加速算法的执行。

6. 总结与展望

通过本文的介绍，我们可以看到利用有限域方法研究计数序列的模 $p$ 性质是一种非常有效的手段。汉克尔矩阵、特征多项式和最小多项式等工具为我们提供了深入分析序列同余关系、周期性等性质的有力工具。

在未来的研究中，我们可以进一步拓展这些方法的应用范围。例如，研究更复杂的计数序列，探索其在不同模 $p$ 下的性质。另外，我们可以结合其他数学理论和方法，如代数几何、组合数学等，来更全面地研究计数序列的性质。

同时，我们也可以关注算法的优化和改进，以提高计算效率和准确性。随着计算机技术的不断发展，我们有理由相信，利用有限域方法研究计数序列的模 $p$ 性质将会在更多领域得到应用，为解决实际问题提供更强大的支持。

附录：相关算法流程图

graph TD;
    A[开始] --> B[构建汉克尔矩阵];
    B --> C[计算汉克尔行列式];
    C --> D{行列式模p是否为零};
    D -- 否 --> E[矩阵求逆确定系数];
    D -- 是 --> F[调整矩阵阶数重新计算];
    E --> G[确定特征多项式];
    G --> H[分析特征多项式零点];
    H --> I[计算最小多项式];
    I --> J[确定序列周期];
    J --> K[结束];
    F --> B;

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化g0(x)=1,h0(x)=x,m0=0];
    B --> C[循环j从0到2k];
    C --> D[计算bj];
    D --> E[更新gj+1(x)];
    E --> F{bj是否不为零且mj是否大于等于0};
    F -- 是 --> G[更新hj+1(x)=1/bj*x*gj(x)];
    F -- 否 --> H[更新hj+1(x)=x*hj(x)];
    G --> I[更新mj+1(x)=-mj];
    H --> J[更新mj+1(x)=mj+1];
    I --> C;
    J --> C;
    C --> K{是否完成循环};
    K -- 是 --> L[计算r];
    L --> M[计算m(x)=x^r*g2k(1/x)];
    M --> N[结束];

以上两个流程图分别展示了研究新序列模 $p$ 性质的整体流程和 Berlekamp – Massey 算法的执行流程，帮助读者更直观地理解相关算法的步骤和逻辑。