18、组合计数序列中的超几何函数与相关数和多项式

组合计数序列中的超几何函数与相关数和多项式

在组合数学和数论的研究中，超几何函数、r - Bell 多项式、r - Fubini 数和 r - Eulerian 数等概念有着重要的地位。下面我们将深入探讨这些概念及其相互关系。

1. 超几何函数

超几何函数的定义为：
[
{p}F {q}\left(\begin{array}{cccc}
a_1, & a_2, & \cdots, & a_p \
b_1, & b_2, & \cdots, & b_q
\end{array} \big| x\right)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{a_1^{(n)}a_2^{(n)}\cdots a_p^{(n)}}{b_1^{(n)}b_2^{(n)}\cdots b_q^{(n)}}\frac{x^n}{n!}
]
许多常见的函数都是超几何函数的实例：
- 指数函数 ：指数函数 (e^x=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}) 是超几何函数最简单的例子，因为其展开式中没有上升阶乘，所以 (p = q = 0)，即 (e^x = {0}F {0}(\big| x))。
- (\frac{1}{1 - x}) 函数 ：当 (a_1 = 1) 且没有其他参数时，根据 (1^{(n)} = n!)，可得 ( {1}F {0}\left(\begin{array}{c}1 \ \end{