12、伯努利数与柯西数：组合数学与数论中的关键元素

伯努利数与柯西数：组合数学与数论中的关键元素

在组合数学和数论的研究中，幂和公式、伯努利数、柯西数以及 Riordan 数组等概念扮演着重要的角色。下面将深入探讨这些概念及其相互关系。

1. 等差数列的幂和

等差数列具有(r, r + m, r + 2m, \cdots, r + nm)的形式。通过对幂和公式进行推广，可以得到等差数列幂和的表达式。
- 公式推导 ：
- 已知幂和公式(\sum_{i = 1}^{n}(r + im)^p = m^p\sum_{k = 1}^{p + 1}(k - 1)!\begin{Bmatrix}p + 1\k\end{Bmatrix}\left[\binom{n + r/m}{k}-\binom{r/m}{k}\right])（(m\neq0)）。
- 推导过程如下：先应用(\sum_{i = 1}^{n}(t + i)^p=\sum_{k = 1}^{p + 1}(k - 1)!\begin{Bmatrix}p + 1\k\end{Bmatrix}\left[\binom{n + t}{k}-\binom{t}{k}\right])，由于该公式对所有正整数(t)都成立，且两边都是关于(t)的多项式，所以对所有实数(t)也成立。令(t = r/m)，然后两边同乘(m^p)，即可得到上述等差数列幂和公式。

2. 伯努利数

伯努利数在数学的许多领域甚至物理学中都具有重要意义。
- 定义 ：伯努利数(B_n)通常由指数生成函数(\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{B_nx^n}{n!}=\fr