5、生成函数：组合数学中的强大工具

生成函数：组合数学中的强大工具

1. 生成函数基础操作

在生成函数的研究中，有一些基础操作能帮助我们从已知序列的生成函数推导出其他序列的生成函数。例如，在积分前除以 (x)，可以得到序列 (a_n) 的指数生成函数：
(\int \frac{f(x)}{x}dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} \int x^{n - 1}dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n} \frac{x^n}{n!})
还可以通过更多规则，如除以或乘以 (x^2)、求导两次等进行变换。

以 (b_n = n) 为例，我们取 (a_n = 1)，其生成函数 (f(x) = \frac{1}{1 - x})。根据规则，(na_n) 的生成函数是 (xf’(x))，则：
(\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = x(\frac{1}{1 - x})’ = \frac{x}{(1 - x)^2})
所以，(b_n = n) 的生成函数是 (\frac{x}{(1 - x)^2})。

2. 生成函数名称的由来

生成函数的名称源于其与序列项的紧密联系。对于函数 (f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n)，对其求 (n) 阶导数后，小于 (n) 次幂的项消失。以 (a_nx^n) 为例，求 (n) 阶导数后变为 (a_nn!)，将 (x = 0) 代入 (n) 阶导数，得到 (n!a_n)，再除以 (n!) 就得到 (a_n)，即：
(\frac{1}{n!}f^{(n)}(x)\big| {x = 0} = a_n)