33、线性与非线性回归分析：原理、方法与应用

线性与非线性回归分析：原理、方法与应用

1. 回归分析概述

回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。它可以将拟合直线的概念扩展到两个主要方向：一是拟合多项式，二是拟合一个是两个或多个自变量的线性函数的变量。通过这些方法，我们可以解决更广泛的问题，并利用优化技术实现非线性回归。具体的目标和涵盖的主题包括：
- 掌握多项式回归的实现方法。
- 了解多元线性回归的实现方式。
- 理解一般线性最小二乘模型的公式。
- 明白如何使用 MATLAB 通过正规方程或左除来求解一般线性最小二乘模型。
- 懂得如何使用优化技术实现非线性回归。

2. 多项式回归

2.1 原理

在某些情况下，数据呈现出明显的模式，但用直线拟合效果不佳，此时使用曲线拟合更为合适。多项式回归就是一种将数据拟合到高阶多项式的方法。以二次多项式为例：
[y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + e]
残差平方和为：
[S_r = \sum_{i=1}^{n}(y_i - a_0 - a_1x_i - a_2x_i^2)^2]
通过对每个未知系数求偏导数并令其为零，可得到以下正规方程：
[\begin{cases}
(n)a_0 + (\sum x_i)a_1 + (\sum x_i^2)a_2 = \sum y_i \
(\sum x_i)a_0 + (\sum x_i^2)a_1 + (\sum x_i^3)a_2 = \sum x_iy_i \
(\sum x_i^2)a_0 + (\sum x_i^3)a_1 + (\sum x_i^4)a_2 =