27、迭代方法与非线性系统求解

迭代方法与非线性系统求解

1. 迭代计算示例

在迭代计算中，以第三次迭代为例，我们有如下计算过程：
- 对于 (x_1)：
- 首先计算 (x_1 = 0.8 + 0.2(0.978336) = 0.995667)
- 然后计算 (x_{1,r} = 1.2(0.995667) - 0.2(1.05312) = 0.984177)
- 接着计算相对误差 (\varepsilon_{a,1} = \left|\frac{0.984177 - 1.05312}{0.984177}\right| \times 100\% = 7.01\%)
- 对于 (x_2)：
- 计算 (x_2 = 0.75 + 0.25(0.984177) = 0.996044)
- 计算 (x_{2,r} = 1.2(0.996044) - 0.2(0.978336) = 0.999586)
- 计算相对误差 (\varepsilon_{a,2} = \left|\frac{0.999586 - 0.978336}{0.999586}\right| \times 100\% = 2.13\%)

由于两个误差估计值都低于 10% 的停止准则，此时可以终止计算。此时的结果 (x_1 = 0.984177) 和 (x_2 = 0.999586) 正在趋近于精确解 (x_1 = x_2 = 1)。

2. 非线性系统

2.1 非线性方程组示例

考虑以下包含两个未知数的非线性方程组：
(\begin{cases}
x_1^2 + x_1x_2 = 10 \
x_2