25、矩阵逆与条件分析：计算、应用与误差评估

矩阵逆与条件分析：计算、应用与误差评估

1. 矩阵逆的计算与应用

1.1 矩阵逆的定义

对于方阵 $[A]$，若存在矩阵 $[A]^{-1}$，使得 $[A][A]^{-1} = [A]^{-1}[A] = [I]$，则称 $[A]^{-1}$ 为 $[A]$ 的逆矩阵。接下来将探讨如何数值计算矩阵逆以及其在工程分析中的应用。

1.2 计算矩阵逆的方法

矩阵逆可以逐列计算，通过以单位向量作为右侧常数生成解。例如，若右侧常数向量 ${b}$ 的第一个位置为 1，其余位置为 0，即 ${b} = \begin{Bmatrix}1\0\0\end{Bmatrix}$，得到的解将是矩阵逆的第一列。同理，若使用第二行位置为 1 的单位向量 ${b} = \begin{Bmatrix}0\1\0\end{Bmatrix}$，结果将是矩阵逆的第二列。

实现这种计算的最佳方法是使用 LU 分解。LU 分解的一个重要优点是它为评估多个右侧向量提供了非常有效的手段，因此非常适合计算矩阵逆所需的多个单位向量。

示例：矩阵求逆

已知矩阵 $[A] = \begin{bmatrix}3& -0.1& -0.2\0.1& 7& -0.3\0.3& -0.2& 10\end{bmatrix}$，其 LU 分解后的下三角矩阵 $[L] = \begin{bmatrix}1& 0& 0\0.0333333& 1& 0\0.100000& -0.0271300& 1\end{bmatrix}$，上三角矩阵 $[U] = \begi