20、线性系统与矩阵代数：从基础到应用

线性系统与矩阵代数：从基础到应用

一、线性代数方程概述

1.1 什么是线性代数方程

在之前的学习中，我们求解的是满足单个方程 (f(x) = 0) 的 (x) 值。而现在，我们要处理的是同时满足一组方程的 (x_1, x_2, \cdots, x_n) 的值，即：
[
\begin{cases}
f_1(x_1, x_2, \cdots, x_n) = 0 \
f_2(x_1, x_2, \cdots, x_n) = 0 \
\cdots \
f_n(x_1, x_2, \cdots, x_n) = 0
\end{cases}
]
这样的系统分为线性和非线性两种。线性代数方程的一般形式为：
[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \
\cdots \
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
]
其中，(a) 是常数系数，(b) 是常数，(x) 是未知数，(n) 是方程的数量。其他代数方程则为非线性方程。

1.2 工程与科学中的线性代数方程

工程和科学中的许多基本方程都基于守恒定律，如质量、能量和动量守恒。以质量守恒原理为例，可用于建立一系列化学反应器的模型。在这个例子中，被建模的量是每个反应器中化学物质的质