16、数值计算中的根查找方法：原理、应用与比较

数值计算中的根查找方法：原理、应用与比较

在数值计算领域，寻找方程的根是一个常见且重要的问题。本文将详细介绍几种常用的根查找方法，包括韦格斯坦方法（Wegstein Method）、牛顿 - 拉夫逊方法（Newton - Raphson Method）、割线法（Secant Methods）以及布伦特方法（Brent’s Method），并通过具体示例展示它们的应用和特点。

1. 韦格斯坦方法

1.1 原理

韦格斯坦方法是一种用于求解 $x = g(x)$ 形式方程根的迭代方法。在定点迭代中，我们知道解位于 $g(x)$ 与 $x$ 关系图的 $45^{\circ}$ 线上，而非 $x$ 轴。该方法通过连接两个初始猜测点 $[x_i, g(x_i)]$ 和 $[x_{i - 1}, g(x_{i - 1})]$ 形成一条直线，并将其投影到 $45^{\circ}$ 线，交点即为下一个根的估计值 $x_{i + 1}$。

通过代数推导，我们可以得到韦格斯坦迭代公式：
[x_{i + 1} = \frac{x_i g(x_{i - 1}) - x_{i - 1} g(x_i)}{x_i - x_{i - 1} - g(x_i) + g(x_{i - 1})}]

1.2 示例

考虑两个 $x = g(x)$ 的函数形式：
- (a) $x = e^{-x}$
给定初始猜测 $x_0 = 0$ 和 $x_1 = 0.25$，计算可得 $g(x_0) = 1$ 和 $g(x_1) = 0.7780$。代入韦格斯坦迭代公式可得：
[x_2 = \f