13、方程求根与优化相关方法介绍

方程求根与优化相关方法介绍

1. 概述

多年前，我们就学会使用二次公式 (x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}) 来求解方程 (f(x) = ax^2 + bx + c = 0)。用该公式计算出的值被称为方程的“根”，也就是使方程等于零的 (x) 值，因此根有时也被称作方程的零点。

虽然二次公式能方便地求解上述方程，但对于很多其他函数，求根并非易事。在数字计算机出现之前，有多种求解方程根的方法。有些方程可采用直接法求解，就像用二次公式那样，但此类可直接求解的方程较少，更多方程需采用近似解法。

一种近似求解方法是绘制函数图像，观察其与 (x) 轴的交点，该交点对应的 (x) 值即为根。不过，图形法虽能粗略估计根的位置，但精度有限。另一种方法是试错法，即不断猜测 (x) 的值，计算 (f(x)) 是否为零，若不为零则继续猜测，直至 (f(x)) 接近零。显然，这些随意的方法效率低下，无法满足工程和科学实践的需求。

数值方法也是近似解法，但它采用系统策略来逼近真实根。借助系统的数值方法和计算机，大多数实际方程求根问题能简单高效地解决。

除了求根，工程师和科学家还关注函数的最值，确定这些最优值的过程称为优化。在微积分中，可通过求函数导数为零的点来解析求解最值。然而，大多数实际优化问题需借助数值的计算机解法。从数值角度看，优化方法与求根方法类似，都涉及对函数某位置的猜测和搜索。二者的根本区别在于，求根是搜索函数值为零的位置，而优化是搜索函数的极值点。

2. 内容组织

• 根的定位 ：前两部分聚焦于根的定位。第五章介绍用于