41、吸引子维度估计：系统继承性相关理论解析

吸引子维度估计：系统继承性相关理论解析

在研究具有继承性的系统时，我们主要关注极限分布的最优性原则、选择定理、极限多样性估计、漂移效应和漂移方程等内容。下面将深入探讨其中的关键概念和理论。

1. ω - 极限集与最优性原则

描述动态系统的极限行为，并不总是能简单地通过列举稳定的不动点和极限环来完成。随机振荡的可能性是大家熟知的，而 S. Smale 发现的结构不稳定系统的领域，在应用科学和自然科学中尚未被完全掌握。

“ω - 极限集”是用于准确形式化描述极限行为的重要概念。如果 (f(t)) 表示相空间中某点位置随时间 (t) 的变化（即动态系统的运动），那么 ω - 极限点 (y) 满足存在时间序列 (t_i \to \infty)，使得 (f(t_i) \to y)。所有这些 ω - 极限点构成的集合就是 ω - 极限集。例如，当 (f(t)) 趋向于平衡点 (y^*) 时，对应的 ω - 极限集就只包含这个平衡点；当 (f(t)) 绕着一个封闭轨迹（极限环）运动时，对应的 ω - 极限集就是这个环上的所有点。

然而，在具体情况中，一般的 ω - 极限集并不常见，原因是缺乏有效的通用方法来找到它们。但对于具有继承性的系统，我们可以通过最优性原则从上方估计极限集。

设 (\mu(t)) 是方程 (14.45) 的解，有 (\mu(t) = \mu(0) \exp \left(\int_{0}^{t} k_{\mu}(\tau) d\tau \right)) 。为了方便表示，我们定义 (k_{\mu}(\tau)) 在区间 ([0, t]) 上的平均值为 (\langle k_{\mu}(t) \rangle_t = \frac{1}{t}