55、莫尔斯图：分析机器人系统吸引域的拓扑工具

莫尔斯图：分析机器人系统吸引域的拓扑工具

1. 莫尔斯图基础概念

莫尔斯图在分析离散化状态空间动力学与全局动力学的组合表示之间的关系中发挥着重要作用。集合 ABlock(φτ) 具有有限分配格的结构，即若 N, N ′ 属于 ABlock(φτ)，那么 N∪N ′ 和 N∩N ′ 也属于 ABlock(φτ)。集合 {O(T) | T ∈ T} 生成了 ABlock(φτ) 的一个有限但庞大的子格。由 MG(F) 元素识别出的 T 中的元素记为 M，被称为莫尔斯单元。

若 F 是 φτ 的外逼近，且 x 属于 φτ 的链递归集（允许任意小误差的递归），那么 x 属于一个莫尔斯单元。M 从 MG(F) 继承了偏序 ≤，其动力学含义源自 T 上偏序的动力学含义。若 M, M ′ 属于 M，M < M ′，且 x 是位于 M 中的初始条件，那么对于所有 n ≥ 0，φnτ (x) ∩ M ′ = ∅。

2. 实验系统与控制器

为了评估相关方法，选取了几种机器人系统进行研究：
- 二阶系统：摆锤系统。
- 一阶阿克曼转向汽车系统（不可倒车）。
- 二阶 Acrobot 系统。

这些系统的动力学通过数值积分进行模拟，状态和控制空间的限制如下表所示：
| 系统 | X | U | X 的边界 | U 的边界 | 控制器 | 目标 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| 摆锤 | (θ, ˙θ) | τ | [{−π,−2π},{π,2π}] | [0.6372,0.6372] | 学习控制器、LQR 控制器 | [0,0] |
| 阿克曼 | (