42、吸引子维度估计与系统特性研究

吸引子维度估计与系统特性研究

1. 引言

在动力学系统的研究中，吸引子维度的估计以及具有特定性质（如继承性）的系统分析是重要的研究方向。不同的定义和方法为我们理解系统的行为提供了多种视角，而实际应用中的各种现象也促使我们不断深入探索这些系统的特性。

2. 集合定义与泛型性

2.1 薄集的定义

通常有两种方式定义薄集，一种是将其定义为第一范畴的集合。然而，即使是实数线 $\mathbb{R}$ 也能被划分为两个集合，一个测度为零，另一个属于第一范畴。在应用中，基于测度的泛型性和基于范畴的泛型性存在显著差异，这种差异促使人们寻求新的、更强的方法。

2.2 选择效率定理中的泛型性

在选择效率定理中，使用了一种很强的泛型性。系统 (14.45) 通过连续映射 $\mu \mapsto k_{\mu}$ 进行参数化。记 $Q$ 为这些从 $M$ 到 $C(X)$ 的映射构成的空间，赋予在 $M$ 上的一致收敛拓扑，它是一个巴拿赫空间。若对于 $Q$ 中的任意紧集 $K$ 和任意正的 $\varepsilon > 0$，都存在向量 $q \in Q$，使得 $|q| < \varepsilon$ 且 $K + q$ 与 $Y$ 不相交，则称 $Q$ 中的集合 $Y$ 为完全薄集。在有限维空间中，只有空集是这样的集合；而在无限维巴拿赫空间中，紧集和具有无限余维的闭子空间是完全可忽略集的例子。在选择效率定理中，“通常”意味着“例外集是完全薄集”。

3. 格罗莫夫对选择定理的解释

3.1 标准单纯形中的动力学系统

考虑在 $m + 1$ 维空间 $