24、福克 - 普朗克方程与弛豫轨迹的近似方法研究

福克 - 普朗克方程与弛豫轨迹的近似方法研究

1. 福克 - 普朗克方程的弛豫方法

在处理福克 - 普朗克方程时，我们首先关注其弛豫过程。对于矩 $M$ 向平衡值的弛豫，有如下方程：
$\dot{M} = -\lambda_0\Delta M$ (9.11)
其中，$1/\lambda_0$ 是矩 $M$ 达到其平衡值的有效弛豫时间，在准平衡近似下：
$\lambda_0 = \langle m^{(0)}m^{(0)}\rangle^{-1}\langle \partial_xm^{(0)} \cdot D \cdot \partial_xm^{(0)}\rangle$ (9.12)

然而，准平衡和三角形准平衡闭合几乎都不是福克 - 普朗克方程（FPE）动力学的不变量。即 FPE (9.3) 解的矩 $M$ 和如 (9.5) 这类闭合矩方程的解，即使初始值相同，也是不同的时间函数。因此，我们需要对这些准平衡闭合进行修正，以得到不变闭合。

我们考虑一个未知分布函数 $W^{(\infty)} = W_{eq}[1 + \Delta Mm^{(\infty)}(x)]$，它满足不变性方程：
$[1 - \Pi^{(\infty)}] \hat{J}m^{(\infty)} = 0$ (9.13)
这里 $\Pi^{(\infty)}$ 是与函数 $m^{(\infty)}$ 相关的投影算子，且目前未知。方程 (9.13) 是单矩近平衡闭合的不变性原理的形式化表达。

为了解决这个不变性方程 (9.13)，我们采用迭代方法，从三角形单矩准平衡近似 $W^{(0)}$ (9.8) 开始。迭代过程如下：
$[1