4、玻尔兹曼方程：理论、模型与简化方法

玻尔兹曼方程：理论、模型与简化方法

1. 玻尔兹曼方程概述

玻尔兹曼方程是描述中等稀薄气体动力学的重要非线性动力学方程，由奥地利科学家路德维希·玻尔兹曼于1872年提出。该方程考虑了粒子的自由飞行和碰撞两个过程，最初是针对硬球粒子推导得出的。

1.1 方程形式

在原始形式中，玻尔兹曼方程适用于硬球粒子，其描述气体在时间 $t$ 的微观状态由单粒子分布函数 $P(x, v, t)$ 表示，其中 $x$ 是粒子中心的位置，$v$ 是粒子的速度。分布函数是在时刻 $t$ 找到粒子位于以相点 $(x, v)$ 为中心的无穷小相空间体积内的概率密度。

两个硬球的碰撞机制由碰撞前后粒子速度的关系表示：
$v′ = v - n(n, v - w)$
$w′ = w + n(n, v - w)$
其中 $n$ 是沿 $v - v′$ 方向的单位向量。速度变换守恒碰撞粒子对的总动量（$v′ + w′ = v + w$）和总动能（$v′^2 + w′^2 = v^2 + w^2$）。

玻尔兹曼方程为：
$\frac{\partial P}{\partial t} + (v, \frac{\partial P}{\partial x}) = N\sigma^2 \int_{R^3} \int_{B^-} (P(x, v′, t)P(x, w′, t) - P(x, v, t)P(x, w, t)) | (w - v, n) | dw dn$
其中 $w$ 的积分遍及整个空间 $R^3$，$n$ 的积分在半球面 $B^- = {n \in S^2 | (w - v, n) < 0}$ 上进行，不等式 $(