22、流体动力学中的精确解与动态不变性原理

流体动力学中的精确解与动态不变性原理

在流体动力学的研究中，精确解的求解以及对各种物理现象背后原理的理解至关重要。本文将深入探讨从 Grad 方程出发的流体动力学精确解，以及动态不变性原理在其中的应用。

1. 3D13M Grad 系统的不变性方程

首先考虑三维空间中的 13 矩 Grad 系统。将原系统用傅里叶变量重写如下：
- $\partial_t\rho_k = -ike_k \cdot u_k$
- $\partial_tu_k = -ike_k\rho_k - ike_kT_k - ike_k \cdot \sigma_k$
- $\partial_tT_k = -\frac{2}{3}ik(e_k \cdot u_k + e_k \cdot q_k)$
- $\partial_t\sigma_k = -ike_ku_k - \frac{2}{5}ike_kq_k - \sigma_k$
- $\partial_tq_k = -\frac{5}{2}ike_kT_k - ike_k \cdot \sigma_k - \frac{2}{3}q_k$

其中，波向量 $k$ 表示为 $k = ke_k$，$e_k$ 是单位向量。

Chapman–Enskog 系数 $\sigma^{(n)}_k$ 和 $q^{(n)}_k$ 具有特定的结构：
- $\sigma^{(2n)}_k = (-k^2)^nik {a_n(e_ku_k - 2g_k(e_k \cdot u_k)) + b_ng_k(e_k \cdot u_k)}$
- $\sigma^{(2n + 1)}_k = (-k^2)^{n