21、动态不变性原理及其应用

动态不变性原理及其应用

1. 引言

在流体动力学的研究中，对Grad方程进行精确求解以及构建简化描述是重要的研究方向。传统的Chapman - Enskog展开方法在解决相关问题时存在一定的局限性，而动态不变性原理为我们提供了新的思路和方法。本文将详细介绍动态不变性原理，并探讨牛顿法在求解相关方程中的应用，同时以一维十三矩Grad系统为例进行深入分析。

2. 动态不变性原理基础

2.1 部分求和的衰减率

在短波域中，近似的精确性并不随近似深度N单调增加。例如在部分求和的衰减率研究中，正则化过程存在一定的缺点，这表明试图捕捉Chapman - Enskog过程的低阶项并不能整体上得到更好的近似。

2.2 动态不变性的引入

以往的精确或近似方法大多以Chapman - Enskog展开为起点，但求和结果并不显式涉及Knudsen数ϵ，也不要求该参数“小”。因此，我们可以重新表述简化描述的问题，使得参数ϵ不出现。以示例方程(8.10)为例，将其改写为傅里叶变量形式并消去参数ϵ：
[
\begin{cases}
\partial_t p_k = -\frac{5}{3}ik u_k \
\partial_t u_k = -ik p_k - ik \sigma_k \
\partial_t \sigma_k = -\frac{4}{3}ik u_k - \sigma_k
\end{cases}
]
简化系统的结果是一个函数(\sigma_k(u_k, p_k, k))，它依赖于流体动力学变量(u_k)和(p_k)以及波矢(k)。由于问题的线