13、量子除法器：算法、重要性与设计

量子除法器：算法、重要性与设计

1. 引言

在量子计算机的所有基本运算中，除法是最为复杂的操作，它会调用加法、乘法和减法等运算。量子除法器是量子处理器不可或缺的一部分，由量子比较器、量子加法器、量子乘法器和量子减法器等算术子模块组成。设计算术单元的量子电路非常重要，而除法单元是计算机硬件中较为复杂的组件。

2. 除法算法

2.1 经典整数除法算法

整数除法是计算基础理论的基本部分，一些经典整数除法算法各有优缺点：
| 算法名称 | 算法描述 | 时间复杂度 | 优缺点 |
| — | — | — | — |
| Knuth 教科书除法算法 | 类似于传统数学除法，被除数和除数必须是双字整数 | (O(n^3)) | 比其他除法算法更复杂、更慢 |
| Moller 改进除法算法 | 用单字近似倒数解决双字整数除以单字整数的问题 | (O(n^2)) | 乘法时间较低，省略乘积的最高有效半部分，但仍需更多操作 |
| 恢复除法算法 | 先对定点小数进行操作，用额外寄存器保存乘法得到的部分分子，减法结果为负时重用结果 | (O(n^2)) | - |

2.2 量子整数除法算法

目前没有明确的量子整数除法算法，所有算法都将量子除法融入经典整数除法算法中：
- Shor 因子分解算法 ：能以高概率在多项式时间内找到复合整数的因子，但该算法及其模幂运算部分未包含除法。不过，为其描述的量子模幂运算架构包含了除法，该电路需要 ((9n + 2)) 个量子比特，深度为 (O(2000n^2))，量子整数除法的时间复杂度为 (O(