9、近似熵及其在生物信号分析中的应用

近似熵及其在生物信号分析中的应用

1. 近似熵的定义与解释

近似熵（Approximate Entropy，ApEn）是一种用于衡量时间序列复杂性的指标。在实际应用中，由于数据点数量 (N) 是有限的，通过特定步骤得到的结果是数据长度为 (N) 时 ApEn 的估计值，记为 (ApEn(m, r, N) = \varphi^m(r) - \varphi^{m + 1}(r))。其中，(m) 通常取 2，(r) 取 ((0.1, 0.25)SD_x)，(SD_x) 是原始数据 ((x(n))) 的标准差。

为了直观理解 ApEn 的含义，我们以一个包含 30 个点的时间序列为例：
- 当 (m = 2) 时，(X(i) = [x(i) x(i + 1)]) 是连接每两个相邻数据点的线段（即两点模式）。以 (i = 8) 为例，(X(8) = [x(8) x(9)]) 是一条粗线段。围绕 (x(i)) 和 (x(i + 1)) 可以绘制两条宽度为 (2r) 的水平带 (I) 和 (II)，它们是满足 (d[X(i), X(j)] \leq r) 要求的容差区域。当向量 (X(j) = [x(j) x(j + 1)]) 的第一个元素 (x(j)) 落在带 (I) 内，第二个元素 (x(j + 1)) 落在带 (II) 内时，(X(j)) 满足距离要求。在这个例子中，除了 (X(8)) 本身，还有 (X(15))、(X(19)) 和 (X(24)) 满足要求，所以 (N_{m = 2}(i = 8) = 4)，(C_{m = 2}(i = 8) = 4 / (N - m + 1) = 4 / 29 = 0.1379)。直观上，(N_{m = 2}(i)) 是序列中所有相邻点形成的与 (X(i))