38、基于编码技术的通信系统优化方案

基于编码技术的通信系统优化方案

1. 完美码与戈莱码概述

在编码领域，汉明界是一个重要的概念。对于任意码 $C = (n, k, d)$，当 $d ≤ 2e + 1$ 时，它满足公式 $|C|\sum_{i = 0}^{e}\binom{n}{i} ≤ 2^{n}$。完美码就是达到汉明界等式的码。线性完美码只有三种，分别是重复码 $(n, 1, n)$、汉明码 $(7, 4, 3)$ 和戈莱码 $(23, 12, 7)$。
- 重复码的码空间只有 $2^{1} = 2$ 个球体，过于简单，不适合我们的应用场景。
- 汉明码的数据字空间（$2^{4}$）和码字空间（$2^{7}$）都较小，也不适合用于聚类。
- 而二进制戈莱码 $(23, 12, 7)$ 可以纠正最多三位错误比特，满足汉明界等式 $2^{12}\sum_{i = 0}^{3}\binom{23}{i} = 2^{12}(\binom{23}{0} + \binom{23}{1} + \binom{23}{2} + \binom{23}{3}) = 2^{23}$。它具有较大的数据字空间 $2^{12}$ 和码字空间 $2^{23}$，因此可用于大型数据集聚类。

2. 数据字空间与码字空间映射

为了便于说明，我们以汉明码为例，介绍完美码的数据字空间和码字空间的映射关系。汉明码的数据字有四位，共 $2^{4} = 16$ 种二进制组合。添加三位奇偶校验位后形成 7 位码字，码字空间有 $2^{7} = 128$ 种可能的二进制值。由于汉明码是完美码，每个数据字至少能在码字空间生成一个码字，而每个码字也对应 16 个数据字中的一个。汉明码能容忍码字上的一位失真，任何码字及其一位失真向量都