18、数学在政治选区划分、生物数据分析中的应用

数学在政治选区划分、生物数据分析中的应用

1. 数学与政治：如何确定最优选区

1.1 选区划分问题概述

确定选区是一个复杂的优化问题，尤其是在拥有众多领土单元的国家。历史上存在许多政党为了自身政治利益划分选区的例子，比如 1812 年马萨诸塞州的不合理选区划分，这种行为被称为“杰利蝾螈”（Gerrymandering）。

我们将介绍一种数学模型的改进形式，用于创建选民数量均匀分布的最优选区。该模型不偏袒任何政治选项，基于聚类分析，确保所有选区的选民数量相近。以克罗地亚共和国 2020 年的数据为例，由于选区划分问题受时间因素（如人口迁移）影响，选区边界应定期修订，例如每次人口普查后。

1.2 问题定义

假设一个国家的领土划分为 $m$ 个领土单元（在克罗地亚为城市和市镇），我们要将其划分为 $k$ 个选区（$1 < k < m$），需满足以下条件：
- 选区由在某种距离意义上相互接近的领土单元组成。
- 选区的选民数量与选区平均选民数量的差异不超过 $\pm p\%$。

为确保领土单元在空间上接近，可使用距离函数 $d : R^2 × R^2 → [0, +∞⟩$，这里采用 LS 距离函数，因其简单自然。此外，为改进模型，还可考虑以下标准：
- 社会经济同质性，确保选区的总收入大致相等。
- 与现有选区的相似性，避免选区修订造成重大变化。
- 面积相似性，使选区面积相近。
- 保留较大的领土单元，使选区边界尽可能与较大领土单元的边界重合。

1.3 数学模型与算法

1.3.1 整数方法