20、含时系数广义七阶KdV方程的显式精确解与守恒律

含时系数广义七阶KdV方程的显式精确解与守恒律

1. 引言

广义七阶KdV方程在表示浅水波、分层内波、离子声波等方面有着广泛的应用。为了探讨高阶色散项对波轮廓的影响，KdV方程形式的模型已被成功分析。不同的技术被用于求解具有不同常数性质的KdV方程的各种形式，以得到不同类型的解。

本文选取的广义七阶KdV方程形式如下：
[u_t + a(t)u_xu^3 + b(t)u_x^3 + c(t)uu_xu_{xx} + d(t)u^2u_{xxx} + e(t)u_{xx}u_{xxx} + f (t)u_xu_{xxxx} + g(t)uu_{xxxxx} + h(t)u_{xxxxxx}= 0]
其中，(u)是自变量(x)和(t)的实函数，所有其他系数(a(t), b(t), c(t), d(t), e(t), f (t), g(t), h(t))都被假设为时间相关的。采用对称群方法来获得该方程的对称性，并将其进一步转化为常微分方程（ODE）。生成的ODE可以通过文献中的许多有效技术来求解。此外，还借助直接方法推导了七阶KdV方程的守恒律。

2. 对称约化与精确解

2.1 寻找对称性

为了找到与上述方程相关的对称性，考虑无穷小生成元为如下形式的自变量和因变量的函数：
[X = X_1(t, x, u)\frac{\partial}{\partial t}+ X_2(t, x, u)\frac{\partial}{\partial x}+ Z_1(t, x, u)\frac{\partial}{\partial u}]
这给出了关于无穷小量(X_1)、(X_2)和(Z_1)的对称方程：