7、四元数、八元数到十二元数流形的球极投影研究

四元数、八元数到十二元数流形的球极投影研究

1. 球极投影至无穷远的拓扑与模运算

在对投影到观察者平面后的反馈进行探讨时，我们发现从无穷远返回的值的引入始于四维。以四元数 (Q = a + ib + jc + kd) 为例，((1, i, -1, i)) 圆可视为单位圆 1，它构成了一个以三个正交轴 (\pm k, \pm j, \pm i) 为轴的圆的中心，而这个圆的中心又代表着另一个圆。这种表示方法虽传统，但在数学中从未被用作推广到四维以上的通用工具。

当我们将最终球体保留三个维度时，可将其余维度转换到中心。例如，一个 12 维张量会投影到比其自身维度低一维的结构中，即 11 维空间。这个 11 维投影空间由中心的 9 维单位球体和周围的 3 维张量组成，类似于 4 维张量的结构。进一步深入 9 维单位单元，会发现其中有 6 维单位单元和周围的 3 维张量（球体）；再进入 6 维单位单元，又会发现 3 维单位单元和周围的 3 维张量。这种投影层次结构的多样性与我们引入的新维度定义相符。传统维度定义是在现有轴集上添加正交轴，而我们引入了“内部和上方”的概念，即给定基质的组成底物包含额外维度的动态。

除了将低维投影超空间作为单点置于高维投影超空间的中心外，球极投影还有其他应用。例如在几何音乐语言（GML）中，我们可以将无穷远点 -1 放置在嵌入相空间的几何形状的奇点或角点上。当添加新维度时，遵循“内部和上方”协议，如在 6 维相空间中存储三角形，三个奇点会通过一个函数连接，该函数调节相变的时间激活。不同层的投影叠加会呈现出旋转和独特的几何形状，多数模拟中，投影超空间呈现的图像与为 GML 创建的数学结构各层的几何形状片段有很大不同。