36、二维水流数值模拟方法及应用

二维水流数值模拟方法及应用

1. 引言

在水流研究中，二维非恒定自由表面流的分析至关重要。通过特定的数值方法，能够对诸如大坝溃决、水闸开启以及洪水波传播等复杂水流情况进行模拟和分析。接下来将详细介绍相关的数值方法及其应用案例。

2. 数值方法概述

• 有限差分格式 ：存在显式和隐式有限差分格式用于分析二维非恒定自由表面流。这些格式可以从纳维 - 斯托克斯方程推导出描述二维非恒定自由表面流的深度平均方程，并通过经验关系纳入摩擦损失。
• 人工粘性的作用 ：在处理尖锐波前附近出现的数值振荡时，可以通过添加人工粘性来进行控制。而且这些格式便于纳入边界条件，初始条件允许存在不连续性，也无需显式跟踪涌波传播。同时，它们编程相对容易，能给出较好的结果。
• 分裂通量格式 ：分裂通量格式可用于分析亚临界和超临界流，其中比姆和沃明格式尤其能处理具有大冲击和涌波的水流。

3. 部分溃坝或水闸开启问题模拟

3.1 问题描述

假设大坝瞬间溃决或水闸瞬间开启，这种不连续的初始条件给计算带来很大困难，目前大多数数值格式在这种情况下会失效。在模拟中，假设大坝或水闸下游河道有一定的水流深度，这在实际应用中是常见的，因为下游控制通常会使下游河道处于“有水”状态。若要模拟干河道，可在分析中假设一个非常小的水流深度，这种方法比显式跟踪涌波传播更容易，且结果精度与其他输入变量相当甚至更好。

3.2 计算域设置

• 计算域为一个长 200m、宽 200m 的河道。
• 非对称溃口或水闸宽 75m，建筑物或大坝在水流方向上厚 10m。
• 网格为 41×41 个点，单个网格尺寸为 5m×5m。
• 为防止源项产生阻尼，使用无摩擦的水平河道，初始条件中尾水/水库水位比 ht/hr 在最初几次运行中为 0.5。

3.3 模拟参数变化

对多种水流参数进行了广泛变化的水流条件分析，包括：
- 摩擦损失（曼宁系数 n 从 0 到 0.15）。
- 假设河道有坡度（底部坡度从 0 到 0.07）。
- 不同的尾水与水库水深比（低至 0.2）。
- 对称和非对称溃口。

3.4 计算结果展示

• 结果呈现方式 ：使用两种类型的图形来展示计算结果。第一种是水面的透视图，图中中间附近的间隙代表大坝的残余部分，垂直比例尺相对于水平比例尺被夸大；第二种是速度矢量图，每个节点的速度用箭头表示，箭头长度代表速度大小，小于指定容差（长度小于网格尺寸 20%）的速度不绘制，边界上平行于固体边界、与流入和流出边界成直角的速度矢量也不绘制。
• 不同格式结果对比 ：将对称和反对称边界条件纳入麦考马克格式进行计算，结果显示边界附近（特别是水库区域）的剖面体现了边界条件的差异。该格式的色散误差表现为涌波背面的振荡，添加人工粘性可在不影响剖面质量的情况下平滑解。加布蒂格式在未添加人工粘性时，振荡位置与麦考马克格式不同，添加人工粘性后也能得到不同的剖面。通过对不同位置的横向水面剖面和特定网格点的水流深度随时间变化的计算结果进行定量对比，发现两种格式给出的结果相当。

以下是模拟过程的流程图：

graph TD
    A[设定计算域和初始条件] --> B[选择数值格式]
    B --> C[输入水流参数变化范围]
    C --> D[进行计算]
    D --> E[绘制结果图形]
    E --> F[对比不同格式结果]

4. 洪水波通过河道收缩段传播问题模拟

4.1 问题描述

该模拟涉及洪水波通过河道收缩段的传播。河道宽 2km，在 2km 长的河道内计算水流条件。水流区域划分为 50×50 个网格，非对称河道收缩段位于河道中部附近。t = 0 时所有网格点的水流深度为 5m，流速为零。在河道上游端全宽度引入如图 15 - 15 所示的洪水波，下游端水流深度保持恒定，等于初始水流深度。

4.2 计算结果分析

• 通过麦考马克格式计算节点 (20, 21) 和节点 (25, 21) 的水流深度，节点 (10, 21) 位于收缩段上游，节点 (25, 21) 位于收缩段下游。从结果可以明显看出，洪水波在通过计算水流区域时，波高和波形发生了改变。
• 在 t = 220s 时，计算了三个位置（收缩段上游 i = 20、收缩段内 i = 25、收缩段下游 i = 35）的横向水面剖面，结果表明由于收缩段非对称，水面相对于河道中心线不对称，洪水波通过收缩段时发生了变化。

5. 与其他方法的对比

将本文介绍的两种显式格式（麦考马克格式和加布蒂格式）与比姆和沃明隐式格式计算的 t = 7.1s 时的纵向水面剖面进行对比。在分析中使用 41×41 网格模拟部分溃坝或水闸突然开启的水流条件，在麦考马克和加布蒂格式中添加人工粘性（κ = 0.25）以平滑计算水流深度中的高频振荡，并采用反对称边界条件。溃口开启后短时间内，下游多个网格点的水流为超临界流。麦考马克格式在 ht/hr 比小于 0.25 时失效，加布蒂格式在该比值小于 0.2 时失效，比姆和沃明格式在该比值小于 0.001 时失效。对比结果显示，这些格式计算结果的一致性令人满意。

以下是不同格式失效条件的表格：
| 格式 | ht/hr 失效比值 |
| ---- | ---- |
| 麦考马克格式 | 小于 0.25 |
| 加布蒂格式 | 小于 0.2 |
| 比姆和沃明格式 | 小于 0.001 |

综上所述，这些数值格式可用于为大坝溃决、堤防决口和涌浪等事件相关的问题提供可靠的解决方案。在实际应用中，可根据具体问题的特点和要求选择合适的格式进行水流模拟分析。

二维水流数值模拟方法及应用

6. 总结与优势

二维非恒定自由表面流的数值模拟在水利工程等领域具有重要意义。通过从纳维 - 斯托克斯方程推导得到深度平均方程，并结合经验关系考虑摩擦损失，为水流模拟提供了理论基础。显式和隐式有限差分格式在处理这类水流问题时展现出了诸多优势：
- 易于处理边界和初始条件 ：这些格式能够轻松纳入边界条件，即使初始条件存在不连续性也能有效处理，无需显式跟踪涌波，大大简化了计算过程。
- 可控的数值振荡 ：对于尖锐波前附近出现的数值振荡，可以通过添加人工粘性进行控制，保证了计算结果的稳定性和准确性。
- 编程相对简单 ：相较于一些复杂的数值方法，这些有限差分格式编程难度较低，便于实际应用。
- 适用多种流态 ：分裂通量格式使得亚临界和超临界流的分析成为可能，比姆和沃明格式在处理大冲击和涌波的水流时表现出色。

7. 实际应用建议

在实际应用中，为了更好地利用这些数值格式进行二维水流模拟，可参考以下建议：
- 根据问题特点选择格式 ：
- 当处理部分溃坝或水闸开启问题时，麦考马克格式和加布蒂格式在大多数情况下能给出相当的结果，但需注意 ht/hr 比值对格式有效性的影响。若该比值较小，可优先考虑比姆和沃明格式。
- 对于洪水波通过河道收缩段的问题，麦考马克格式能较好地模拟波高和波形的变化，可作为首选。
- 合理设置计算参数 ：
- 计算域的大小和网格划分应根据实际问题进行合理设置，以保证计算精度和效率的平衡。例如，在部分溃坝模拟中，采用 41×41 的网格能较好地反映水流情况。
- 水流参数的变化范围应根据实际情况进行输入，如摩擦损失、河道坡度、尾水与水库水深比等，以全面分析水流条件。
- 人工粘性的使用 ：添加人工粘性是控制数值振荡的有效方法，但应根据具体情况选择合适的粘性系数，避免过度平滑导致结果失真。

以下是选择数值格式的决策树：

graph TD
    A[问题类型] --> B{部分溃坝或水闸开启}
    B -->|是| C{ht/hr 比值}
    C -->|小于 0.2| D[比姆和沃明格式]
    C -->|0.2 - 0.25| E[加布蒂格式]
    C -->|大于 0.25| F[麦考马克格式或加布蒂格式]
    B -->|否| G{洪水波通过河道收缩段}
    G -->|是| H[麦考马克格式]

8. 未来发展展望

随着计算机技术的不断发展和对水流问题研究的深入，二维水流数值模拟方法有望在以下方面取得进一步发展：
- 提高计算精度 ：通过改进数值格式和算法，减少数值误差，提高模拟结果的精度，更准确地反映实际水流情况。
- 拓展应用范围 ：将数值模拟方法应用于更复杂的水流问题，如多相流、非牛顿流体等，为相关领域的研究提供支持。
- 与其他技术结合 ：与地理信息系统（GIS）、遥感技术等相结合，实现对水流问题的更全面、实时的监测和分析。
- 可视化技术提升 ：开发更先进的可视化技术，使模拟结果更直观地展示，便于工程师和决策者理解和应用。

9. 常见问题解答

在使用这些数值格式进行二维水流模拟时，可能会遇到一些常见问题，以下是对这些问题的解答：
- 问 ：初始条件存在不连续性时，如何保证计算的稳定性？
- 答 ：这些有限差分格式本身能够处理不连续的初始条件。同时，添加人工粘性可以有效控制数值振荡，提高计算的稳定性。
- 问 ：如何选择合适的网格大小？
- 答 ：网格大小应根据计算域的大小和需要模拟的水流特征进行选择。一般来说，较小的网格能提高计算精度，但会增加计算时间；较大的网格则相反。在实际应用中，可通过试算来确定合适的网格大小。
- 问 ：添加人工粘性会对结果产生什么影响？
- 答 ：适量的人工粘性可以平滑数值振荡，使计算结果更稳定。但如果粘性系数过大，可能会导致结果过度平滑，丢失一些重要的水流特征。因此，需要根据具体情况选择合适的粘性系数。

以下是不同问题对应的解决方法列表：
| 问题 | 解决方法 |
| ---- | ---- |
| 初始条件不连续导致计算不稳定 | 添加人工粘性 |
| 选择合适的网格大小 | 试算确定，平衡精度和计算时间 |
| 人工粘性对结果的影响 | 根据具体情况选择合适的粘性系数 |

通过对二维水流数值模拟方法的深入了解和合理应用，我们能够更好地解决实际中的水流问题，为水利工程、防洪减灾等领域提供有力的支持。希望本文的介绍和建议能为相关从业者和研究者提供有益的参考。