35、流体动力学数值计算方法：Beam - Warming与有限体积法详解

流体动力学数值计算方法：Beam - Warming与有限体积法详解

1. Beam and Warming方案概述

Beam and Warming方案是用于求解守恒形式双曲系统的隐式有限差分方案，在计算流体动力学中得到了广泛应用。该方案具有非迭代的特点，能显著节省计算机时间，尤其在多维问题中优势明显。大多数情况下，该方案在时间上具有二阶精度，在空间上可实现二阶或四阶精度。

1.1 一般公式

时间差分的一般形式为：
[U^{k + 1} = U^k + \Delta t\left[\frac{\theta}{1 + \xi}\left(\frac{\partial U}{\partial t}\right)^{k + 1} + \frac{1 - \theta}{1 + \xi}\left(\frac{\partial U}{\partial t}\right)^k + \frac{\xi}{1 + \xi}\left(\frac{\partial U}{\partial t}\right)^{k - 1}\right]]
其中，(\theta)和(\xi)是参数，不同的取值对应不同的方案，常见的方案如下表所示：
| 方案 | (\theta) | (\xi) |
| — | — | — |
| Euler Implicit (Backward Euler) | 1 | 0 |
| Three - Point Backward | 1 | (\frac{1}{2}) |
| Trapezoidal Formula (Crank Nicolson) | (\frac{1}{2}) | 0 |

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