记录几何计算知识

关于求点到面的距离

 本方法有前提，已知点M(x_0,y_0,z_0)和已知面（Ax + By + Cz + D = 0）的表达式

1、首先通过三个点计算出两个向量N1， N2 ;
 N1 =（C-A）， N2 = (B-A);
2、计算两个向量的叉乘结果，以拿到法向量

 叉乘的几何意义：
 设 c = a × b
 则c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
 且c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
 ∣c∣=∣a∣∣b∣⋅sinθ

 叉乘的算法：这里的vector是Vector3的形式，也就是三个数，x,y,z。

      （Vector1.y * Vector2.z - Vector1.z * Vector2.y,
        Vector1.z * Vector2.x - Vector1.x * Vector2.z,
        Vector1.x * Vector2.y - Vector1.y * Vector2.x);

3、法向量归一化

Vector3 rVec;
double normalise()
{
	//首先计算长度
	double dLength = sqrt(rVec 点乘 rVec);
	if(dLength > 0,0)
	{
		double dInvLength = 1.0 / dLength;
		for(int i = 0; i < 3; ++i)
		{
			rVec[i] *= dInvLength;
		}
	}
	return dLength;
}

4、开始求距离
归一化其实是优化去下面的公式的部分，可以完全按照公式做，而不需要第三步

如果法向量是单位向量，则分母为1.

点相对于某个面的镜像位置

已知点M(x_0,y_0,z_0)和距离之后，根据右手定则，直接M点加或者减两倍的距离就可以了。

证明平面方程的前三个系数是法向量

变换方程为一般式Ax+By+Cz+D=0，平面的法向量为(A,B,C)。

证明：设平面上任意两点P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)

∴ 满足方程：Ax1+By1+Cz1+D=0，Ax2+By2+Cz2+D=0

∴ PQ的矢量为(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，该矢量满足A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=0

∴ 矢量PQ⊥矢量(A,B,C)

∴ 平面上任意直线都垂直于矢量(A,B,C)

∴ 矢量(A,B,C)垂直于该平面

∴ 平面的法向量为(A,B,C)

求垂足的推导过程

https://blog.youkuaiyun.com/weixin_42165981/article/details/100547144

已知点P(a,b,c)，计算点P到面Ax + By + Cz + D = 0的垂足，也就是点P在平面上的投影M(x0,y0,z0).
方法1：
显然点P和点M组成的直线l1和平面的法向量平行，则向量（A，B，C）（平面的法向量）是直线的方向向量。所以已知直线上一点和直线的方向向量，所以已知直线上一点和直线的方向向量，l1的参数方程：
(x -a)/A = (y - b)/B = (z - c)/C = t;
所以
x = At + a;
y = Bt + b;
z = Ct + c;
将x，y，z代入到平面方程
Ax+By+Cz+D
= A∗(At+a)+B∗(Bt+b)+C∗(Ct+c)+D
= A^2t+Aa+B^2t+Bb+C^2t+Cc+D
= (A^2+B^2+C^2)t+Aa+Bb+Cc+D

所以(A^2+B^2+C^2)t+Aa+Bb+Cc+D = 0；
所以t = -(Aa+Bb+Cc+D)/(A^2+B^2+C^2).

从而求出来投影点
x0 = (-A(Aa+Bb+Cc+D) + a(A^2+B^2+C^2))/(A^2+B^2+C^2)
y0 = (-B(Aa+Bb+Cc+D) + b(A^2+B^2+C^2))/(A^2+B^2+C^2)
z0 = (-C(Aa+Bb+Cc+D) + c(A^2+B^2+C^2))/(A^2+B^2+C^2)