13、如何通过更紧密的安全归约证明签名的安全性

如何通过更紧密的安全归约证明签名的安全性

在密码学领域，签名方案的安全性证明至关重要。传统的Waters签名方案在安全归约方面存在一些问题，本文将介绍一种利用变色龙哈希函数来收紧Waters签名方案安全归约的方法。

1. 背景与问题提出

在模拟过程中，为了将伪造签名问题归约到CDH假设（或解决CDH问题），签名查询阶段和伪造阶段有特定要求。每个消息 $m_i$ 的签名查询必须使 $u_0\prod_{i\in M_i} u_i$ 包含元素 $g_b$，否则模拟器会失败；而伪造消息 $m^ $ 的签名时，$u_0\prod_{i\in M^ } u_i$ 必须排除 $g_b$，否则模拟器无法输出CDH问题的答案。假设随机消息中 $u_0\prod_{i\in M} u_i$ 包含 $g_b$ 的概率为 $1 - \frac{1}{l}$（$l > 1$），那么模拟成功的概率为 $Pr[\neg abort] = (1 - \frac{1}{l})^{q_s} \cdot \frac{1}{l}$，其中 $q_s$ 是伪造者询问的最大签名查询数。当伪造者需要查询约 $2^{30}$ 个签名才能伪造有效签名时，这种归约就被认为是宽松的。

2. 主要贡献

• 应用变色龙哈希函数 ：将变色龙哈希函数应用于Waters签名方案，使得归约中的 $\lambda$ 小于 $2n + 1$，而Waters的结果是 $8q_s(n + 1)$。因此，我们的归约更紧密，且与对手的签名查询要求无关。
• 方法的其他应用 ：
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