12、树自动机与逻辑中的类型、收缩方法及接受问题

树自动机与逻辑中的类型、收缩方法及接受问题

1. 类型与接受问题

在树自动机的研究中，树 $T$ 的接受问题与计算（并检查）其 $A$-类型之一的问题是等价的。下面我们来看相关命题。

命题 27

给定一个 $D$-增强树自动机 $A$ 和一个（非空满）$D$-增强树 $T$ 的 $A$-类型 $\sigma$，可以判定 $T$ 是否属于 $A$ 所识别的语言 $L(A)$。

证明如下：
设 $A = (A, C, D, S, \Delta, I, F, G)$，$\sigma$ 为集合：
[
\left{
\begin{pmatrix}
r_h \
\bigcap_{i \in I_h} F_{h,i} \
\bigcap_{j \in J_h} (d_{h,j}, r_{h,j}, G_{h,j})
\end{pmatrix}
: h \in H
\right}
]
其中 $H$ 是一个有限的索引集（每个索引代表一组具有相同特征的计算）。对于所有 $h \in H$，$I_h$ 和 $J_h$ 是有限的索引集，$r_h$ 和 $r_{h,j}$（$j \in J_h$）是 $S$ 中的状态，$d_{h,j}$（$j \in J_h$）是 $D$ 中的标签，$F_{h,i}$（$i \in I_h$）和 $G_{h,j}$（$j \in J_h$）是 $S$ 的状态集合。

假设 $A$ 接受 $T$，这意味着存在 $A$ 的一个成功运行 $R$，其特征 $[T, R]$ 属于 $\sigma$，即存在 $h \in H$ 使得：